Spazi metrici

[Deneb17]

Salve, dovrei risolvere questi esercizi sugli spazi metrici e sto trovando qualche difficoltà. Chi potrebbe aiutarmi?

1. Nello spazio metrico $RR^2$, munito dell'usuale distanza euclidea, si consideri l'insieme $A = {(x,y) in RR^2: x in QQ, y in RR|QQ}$ e se ne trovino l'interno, la chiusura, la frontiera e i punti di accumulazione per $A$ in $RR^2$.

Io ho pensato che l'interno è l'insieme vuoto poichè, essendo $QQ$ e $RR|QQ$ densi in $RR$, è impossibile trovare una palla centrata in un punto di $A$ che contenga solo elementi di $A$, ovvero con ascissa in $QQ$ e ordinata in $RR|QQ$. La chiusura è tutto $RR^2$ poichè ogni palla centrata in un punto di $RR^2$, sempre per la densità dei razionali e degli irrazionali, contiene almeno un elemento di $A$. Stesso ragionamento per i punti di accumulazione per $A$ che quindi risultano tutti i punti di $RR^2$. La frontiera è data dalla differenza tra $A$ e il suo interno ed è quindi $A$. Confermate?

2. Siano $E$ ed $E'$ due spazi metrici, e $f : E → E'$ una funzione continua. Preso un aperto $A$ di $E$ e un aperto $A'$ di $E'$, stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false, giustificando le risposte.
a) L’insieme $f(A)$ è aperto.
b) L’insieme $f^-1(A')$ è aperto.

Questo non so nemmeno da dove iniziare, conosco le definizioni di insieme aperto e funzione continua ma non riesco a collegare le due cose. L'intuito mi dice che una funzione continua manda insiemi aperti in insiemi aperti ma come faccio a dimostrarlo?

3. Dato $a > 0$, dimostrare che l’insieme ${(x,y) ∈ RR^2 : sinx = a^y}$ è chiuso in $RR^2$.

Affinchè sussista l'uguaglianza deve verificarsi $sinx>0$ e $-1<=a^y<=1$, trovando ${(x,y) ∈ RR^2 : 2kpi<x<pi+2kpi , y<=0}$
Affinchè sia un insieme chiuso, deve verificarsi che l'insieme coincida con l'insieme dei punti aderenti (chiusura). L'intuito però mi posta a pensare che tutti i punti di ascissa $pi+2kpi$ siano aderenti, in quanto è possibile centrare in questi una palla che mi interseca l'insieme, per qualsiasi raggio, ma non appartengono all'insieme, pertanto insieme e chiusura non coincidono. Dove sbaglio?

Per favore, datemi una mano!

[ostrogoto]

2.
a) falso. Sia $ f(x)=x^2 $ su $ (-1,1) $. La sua immagine e' $ [0,1) $ che non e' un aperto.
b) vera.(c'e' un teorema che dimostra che una funzione e' continua sse la controimmagine di un aperto e' un aperto)

[Deneb17]

2.
a) falso. Sia $ f(x)=x^2 $ su $ (-1,1) $. La sua immagine e' $ [0,1) $ che non e' un aperto.
b) vera.(c'e' un teorema che dimostra che una funzione e' continua sse la controimmagine di un aperto e' un aperto)

Come posso dimostrarlo in una maniera più formale e non per tentativi?
E riguardo agli esercizi 1 e 3?

[ostrogoto]

Maniera piu' formale?
Nel caso a) ho trovato un controesempio all'affermazione e cio' e' sufficiente per dichiararla falsa. Un procedimento comunemente accettato in matematica.
Nel caso b) ho citato un teorema... [Se non ce l'hai te lo posto con la dimostrazione]

D'accordo sulle tue conclusioni sul primo esercizio.

[Deneb17]

Grazie mille, e per quanto riguarda il terzo?

[vict85]

Ad essere rigorosi, il più delle volte quella citata da ostrogoto è la definizione di funzione continua. La doppia implicazione con la versione che piace agli analisti non è difficile.

Riguardo al punto (a) nota che l'immagine di tutto lo spazio non è necessariamente aperta e in fin dei conti una funzione vede solo la sua immagine. Pensa al caso in cui l'immagine è un singolo punto o al caso mostrato da ostrogoto. Anche supponendo che l'immagine sia aperta non è affatto detto che l'immagine di un aperto sia aperta neanche nello spazio indotto (specialmente se lasciamo gli spazi metrici). Non esiste però neanche una dimostrazione del contrario, infatti su particolari ipotesi sullo spazio di partenza o arrivo l'immagine di un aperto potrebbe essere aperto per ogni funzione continua tra quei particolari spazi. Una condizione di un certo interesse è quando il dominio è un intervallo chiuso.

Riguardo al terzo sfrutta il punto 2: quell'insieme è chiuso perché controimmagine di un chiuso tramite una funzione continua. Un metodo che non vedo usare spesso dagli analisti che preferiscono usare la chiusura sequenziale anche quando è inutile.

[Deneb17]

Grazie, ho capito. Ma allora, sempre nel terzo esercizio, cosa c'è che non va nel mio ragionamento?

[vict85]

Sinceramente ho difficoltà a seguire il tuo ragionamento. Ostrogoto aveva risposto e poi ha cancellato, devo averlo intimorito .

Comunque qualsiasi ragionamento che parte con “L'intuito però mi posta a pensare che tutti i punti di ascissa π+2kπ siano aderenti” non è molto serio. Più seriamente avresti dovuto dire che \(\displaystyle \sin x_0 = a^y_0 \) allora \(\displaystyle \sin (x_0 +\delta) = a^y_0 \) per ogni \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \sin x_0 = \sin(x_0+\delta)\) in particolare ogni \(\displaystyle 2k\pi \). La parte dopo non l'ho capita.

[Deneb17]

Sinceramente ho difficoltà a seguire il tuo ragionamento. Ostrogoto aveva risposto e poi ha cancellato, devo averlo intimorito .

Comunque qualsiasi ragionamento che parte con “L'intuito però mi posta a pensare che tutti i punti di ascissa π+2kπ siano aderenti” non è molto serio. Più seriamente avresti dovuto dire che \(\displaystyle \sin x_0 = a^y_0 \) allora \(\displaystyle \sin (x_0 +\delta) = a^y_0 \) per ogni \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \sin x_0 = \sin(x_0+\delta)\) in particolare ogni \(\displaystyle 2k\pi \). La parte dopo non l'ho capita.

Ho provato a "colorare" sul piano tutte le zone con ordinata minore di 0 e ascissa compresa strettamente tra quei valori lì. Un punto è aderente all'insieme se ogni palla centrata in quel punto contiene elementi dell'insieme, qualunque sia il raggio. Provo a centrare una palla in un punto di ascissa 0, ad esempio, che non è un punto dell'insieme. Però per quanto piccolo sia il raggio, la palla che andrò a disegnare interseca comunque la zona che ho colorato, ovvero quella dell'insieme. Pertanto qualsiasi punto di ascissa 0 è aderente, ma non appartiene all'insieme. Pertanto chiusura e insieme non coincidono e l'insieme non è chiuso. Ho seguito questo ragionamento.

[vict85]

Mancano tutti i calcoli nel tuo ragionamento. Suppongo \(\displaystyle a > 1 \), per \(\displaystyle 0 \le a <1 \) è analogo. Per \(\displaystyle a = 1 \) è un insieme di numerabile di rette parallele ed è facile.

Tu stai prendendo un elemento \(\displaystyle p=(x,y) \) tale che \(\displaystyle p\notin S \) dove ho dato il nome \(\displaystyle S \) all'insieme.

Per \(\displaystyle p = (x,y) \) abbiamo che \(\displaystyle f(p) = a^y - \sin x\). Ora, siccome \(\displaystyle \sin x \le 1 \) per ogni \(\displaystyle y > 0 \) sia ha \(\displaystyle f(q) > 0 \) per ogni \(\displaystyle q\in B(p, y/2) \). Questo dimostra che \(\displaystyle q \) non appartiene a \(\displaystyle f^{-1}(0) \).

Similmente se \(\displaystyle x \) è negli intervalli in cui \(\displaystyle \sin x < 0 \) allora \(\displaystyle f(q) > 0 \) in un intorno di \(\displaystyle p \) (usi il teorema della permanenza del segno sul seno e il fatto che per quell'intorno delle \(\displaystyle x \), la condizione \(\displaystyle f(q) > 0 \) non dipende dalle \(\displaystyle y \)).

Il caso \(\displaystyle y \le 0 \) e \(\displaystyle \sin x > 0 \) è meno immediato perché entrambe le funzioni sono tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \). Comunque supponiamo che si abbia \(\displaystyle a^y > \sin x \). Allora esista \(\displaystyle b \) tale che \(\displaystyle a^y > b > \sin x \). A questo punto se prendi \(\displaystyle y_0 = \log_a b \) e \(\displaystyle x_0 \) in modo tale che \(\displaystyle \sin x_0 = b \) e il seno sia monotona crescente nella direzione \(\displaystyle x\to x_0 \). A quel punto l'intervallo cercato è \(\displaystyle I \times (y_0, \infty) \) dove \(\displaystyle I \) è un intervallo che ha \(\displaystyle x_0 \) come un estremo e dall'altro ha il più vicino \(\displaystyle x_1 \) a \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle \sin x_1 = 0 \). Il caso \(\displaystyle a^y < \sin x \) è analogo.
Probabilmente questa ultima parte era più chiara se mi limitavo agli \(\displaystyle x \) in un intervallo particolare.