Salve a tutti, oggi vi chiedo come si risolve un esercizio che il mio prof mette molto raramente nei suoi compiti, ma è sempre bene saperlo risolvere. si tratta del calcolo dell'area di una curva $ rho(theta) $ quindi in funzione di theta.
So già risolvere gli integrali per trovare l'area racchiusa da una porzione di grafico e cose simili, ma il problema sorge quando ho rho in funzione di theta, e non so come procedere.
Visto che solo con la teoria è praticamente impossibile spiegare questi tipi di esercizi, vi pongo un quesito d'esame del professore:
Determinare l'area racchiusa dalla curva $ rho(theta)= sen(2theta) $ con $ 0<theta<pi/2 $ .
Se fosse un esercizio "normale" (intendo uno di quelli con una equazione nelle variabili x ed y) saprei risolverlo, infatti userei una trasformazione polare per trovare gli estremi di integrazione e poi risolverei l'esercizio.
In questo caso purtroppo non so da dove partire, ora vi propongo una mia possibile soluzione, ovviamente sarà sicuramente sbagliatissima perchè appunto non so da dove partire, ma visto che fa parte del regolamento del forum, la faccio lo stesso:
Allora parto subito vedendo che ldovrò risolvere un'integrale doppio, gli estremi di integrazione di thetali conosco già, infatti me li ha dati il prof, devo passare agli estremi di integrazione di rho, essendo rho in funzione del seno di theta, so che il seno è una funzione oscillante tra -1 ed 1, non potendo essere negativo, rho allora varierà tra 0 ed 1 e l'integrale doppio che verrà fuori sarà:
$ int_(0)^(1) rho drhod theta rArr int_(0)^(pi/2) int_(0)^(1)sen(2theta)drhod theta rArr int_(0)^(pi/2) sen(2theta)d theta int_(0)^(1)drho rArr $
$ rArr 1/2int_(0)^(pi/2)2sen(2theta)rArr -1/2cos(2theta)( (pi/2), (0) ) rArr -1/2(-2) rArr 1 $
Ora come vedete il risultato mi viene fuori 1, non so se sia giusto o meno, ma penso che comunque sia sbagliato.