Forma indeterminata 1^infinito

[dynaxus]

Buongiorno a tutti, gentili lettori!
E' la prima volta che mi appello alla clemenza e generosità degli utenti di un forum per risolvere un quesito di ambito universitario.
Ciò che sto per proporvi è un semplice limite da calcolare, presente ieri nel compito di esame e che non ho saputo svolgere (se dobbiamo essere sinceri, l'ho risolto ma non sono convinto proprio per niente del risultato). Dato che sono convinto di aver sbagliato (mi auguro di no), se tale previsione si avverasse tale limite potrebbe essere oggetto di discussione all'orale che si terrà molto probabilmente venerdì e quindi mi toccherà giustificare ciò che ho scritto ed eventualmente risolvere nuovamente l'esercizio in quanto sbagliato.
Il limite si presenta nella forma indeterminata scritta nel titolo della discussione ed è il seguente:

$ lim_(x -> 0) (sin (x)/x)^(1/(x^2) $

Trovandomi davanti questo limite, nel compito ho impostato così l'esercizio:

$ lim_(x -> 0) (sin (x)/x)^(1/(x^2)) =$ $ lim_(x -> 0) e^(ln(sin(x)/x)^(1/x^2)) =$ $ lim_(x -> 0) e^(ln(sin(x)/x)/x^2 $

Fino a qui credo che sia tutto corretto, ma è ciò che ho fatto dopo che mi turba.
Ho scelto di effettuare un cambio di variabile come il seguente: $ x=1/y $ e ho trasformato il limite così:

$ lim_(x -> 0) e^(ln(sin(x)/x)/x^2) =$ $ lim_(y -> oo) e^(ln(sin(1/y)/(1/y))/(1/y^2) $

Giunti a questo punto ho dedotto che sia lecito utilizzare la gerarchia degli infiniti ed affermare che il limite di tutto l'esponente tende a zero in quanto "il logaritmo, per la gerarchia, è il meno veloce di tutti" e quindi:

$ lim_(x -> 0) (sin (x)/x)^(1/(x^2))= $ $e^0 =$ $1$

Ed è così che ho consegnato il compito. I dubbi sono venuti dopo, quando riflettendo ho pensato: "La gerarchia degli infiniti mette a confronto due funzioni e stabilisce chi va a infinito più velocemente" (spiegazione terra terra, so che dietro c'è anche il teorema di de l'Hospital). Avendo effettuato il cambio di variabile sia l'argomento del seno che il denominatore dell'esponente tenderanno a zero (non a infinito come richiesto dalla gerarchia) e quindi non abbiamo fatto niente. Da qui nasce la convinzione di aver sbagliato l'esercizio.
Mi sono venute svariate idee, delle quali quella più plausibile mi porta a ricondurmi al limite notevole
$ lim_(x -> +-oo) (1+1/x)^x =e $
In effetti se sommo e sottraggo 1 dentro le tonde del mio limite ottengo sì 1 + "una cosa che tende a zero" (come dice sempre il mio prof XD) solo che poi mi blocco in quanto non so come "aggiustare" l'esponente...
Ho chiesto a un mio amico di risolvere l'esercizio come meglio credeva e nei suoi calcoli è giunto al sorprendente risultato di $ 1/root(6)e $. Confusione totale. Mi affido anche a un noto calcolatore di limiti online e il risultato che ottengo conferma i calcoli del mio amico. Il problema è che lui lo ha risolto con lo sviluppo in serie (so che cos'è e più o meno come si usa, ma non è argomento previsto nel mio programma di facoltà e quindi in un certo senso mi è vietato usarlo).

Le mie domande sono:
- Il mio amico sbaglia e di conseguenza sbaglia anche il calcolatore online?
- Ci sono dei meandri oscuri della gerarchia degli infiniti che non ho ancora compreso e quindi il compito è giusto?
- Evitando lo sviluppo in serie, come si risolve questo limite? E soprattutto quanto risulta? (Non l'ho mica capito ancora, eh )

Ringrazio in anticipo per le eventuali risposte.

[ostrogoto]

Confermo il risultato di $ e^(-1/6) $, usando gli sviluppi di Taylor (e quindi in tutte le altre maniere, ovviamente), un metodo estremamente sicuro e potente. Noto che con questo medoto serve uno sviluppo del sen(x) al secondo ordine (vedi calcolo sotto), quindi usando i limiti notevoli serve un trucco per superare questo scoglio essendo i limiti notevoli approssimazioni al primo ordine.

$ (sinx/x)^(1/x^2)=[(x-x^3/6+o(x^3))/x]^(1/x^2)=[1-x^2/6+o(x^2)]^(1/x^2)=e^((1/x^2)ln[1-x^2/6+o(x^2)])=e^((1/x^2)*(-x^2/6+o(x^2)))=e^(-1/6+o(1))rarre^(-1/6) $

per $ xrarr0 $

[dynaxus]

La soluzione che hai proposto è esattamente quella indicatami dal mio amico, il che conferma il risultato ottenuto.
Adesso sorge il problema: dato che (come ho già scritto nel post principale) nel mio programma di matematica non vi è lo sviluppo in serie di Taylor, non c'è altra soluzione alternativa a quella da te presentata? Proprio nessuna?

Perché se così fosse il professore ha inserito nel compito un esercizio impossibile da risolvere con le nostre conoscenze, pertanto se all'orale mi verrà chiesto, come devo comportarmi? Mi sento inerme.

Anche perché dopo aver consegnato il compito ho detto al professore che il limite era difficile, ricevendo come risposta un bel: "Ma era facilissimo! Potrei dirti la soluzione ma non posso... (perché alcuni ancora non avevano consegnato)"

Ora o è lui che sbaglia o c'è davvero una soluzione banale (con i metodi standard intendo) per risolverlo.
Non so più a che santo votarmi.

[ostrogoto]

Dunque una maniera di risolvere con limiti notevoli e l'Hopital c'e' a prezzo di complicare un tantino la scrittura. [Dopodiche' l'uso ingiustamente deprecato degli sviluppi di Taylor risultera' ancora di piu' il metodo migliore]

$ (sinx/x)^(1/x^2)=[(sinx/x-1)+1]^(1/2)=[(sinx/x-1)+1]^(1/x^2*1/((sinx/x)-1)*(sinx/x-1))={[(sinx/x-1)+1]^(1/(sinx/x-1))}^(1/x^2(sinx/x-1)) $

Ora la parte dentro le parentesi graffe vale e per il noto limite notevole: $ lim_(xrarr0)(1+x)^(1/x)=e $ mentre per risolvere l'esponente uso Hopital:

$ (sinx-x)/x^3=^H(cosx-1)/(3x^2)rarr-1/6 $ per $ xrarr0 $ usando l'altro limite notevole $ lim_(xrarr0)(1-cosx)/x^2=1/2 $.

Conclusione il limite proposto vale effettivamente $ e^(-1/6) $

Spero ardentemente che ci sia una maniera piu' semplice di risolvere perche' questa pur essendo una possibile soluzione mi sembra qualcosa di parecchio cervellotico.

[dynaxus]

Allora una mezza idea ce l'avevo... Almeno con questa nuova soluzione non rischierò di fare scena muta all'orale se mi viene chiesto il limite.
Non avevo tenuto conto del fatto che quando sommo e sottraggo 1, la quantità

$ sin(x)/x -1 $ tende a zero, per $ x ->0 $

Dovevo agire in modo che all'esponente vi sia una quantità che tenda a $oo$, cosa che naturalmente mi è sfuggita.

Adesso so che ho sbagliato il limite nel compito... Non è un dramma ma vabbè, ormai il danno è fatto.

Ringrazio ostrogoto per l'aiuto e se, come ha detto lui, ci sono altre soluzioni per l'esercizio non esitate a scriverle! Sono sempre aperto alle novità!

Grazie ancora!

[dissonance]

Devi stare attento a una cosa: quando l'argomento del logaritmo tende a $1$, NON è vero che il logaritmo "è il meno veloce di tutti". Questo è vero a $0$ e ad $+\infty$, ma non a $1$: in un intorno di $1$, il logaritmo è grosso modo simile alla funzione $x-1$. Quindi si comporta come un polinomio di primo grado.

[dynaxus]

Devi stare attento a una cosa: quando l'argomento del logaritmo tende a $1$, NON è vero che il logaritmo "è il meno veloce di tutti". Questo è vero a $0$ e ad $+\infty$, ma non a $1$: in un intorno di $1$, il logaritmo è grosso modo simile alla funzione $x-1$. Quindi si comporta come un polinomio di primo grado.

Non lo sapevo
Bene, ho imparato una cosa nuova!
Grazie per la delucidazione!

[dissonance]

Ma si che lo sapevi. Non mi dire che non conosci il limite notevole
\[
\lim_{y\to 0} \frac{\log(1+y)}{y}=1.
\]

[dynaxus]

Certo che lo conosco! Il problema è che non ho associato mai le due cose

[francicko]

Concordo pienamente con quanto detto da @ostrogoto, non esiste una maniera migliore che l'uso degli sviluppi di taylor, strumento sicuro ed efficace, in questo caso l'uso di Hopital complica di molto la soluzione,peraltro il solo ricorso ai limiti notevoli è insufficiente ,in quanto vengono coinvolti termini successivi al primo, tuttavia per la soluzione bisogna conoscere lo strumento degli sviluppi in serie di Taylor , che non è qualcosa che si può ricavare in maniera semplice ed intuitiva, magari poi sarò lieto di essere smentito, ma per me se non si conosce uno strumento come Taylor il limite "semplice " non lo é.
Se il limite fosse stato ad esempio questo $lim_(x->0)(cosx)^(1/(x^2))$, che dà origine sempre ad una forma indeterminata $1^infty$, in tal caso pur non conoscendo strumenti come lo sviluppo in serie di Taylor o Hopital, è possibile ricavare la soluzione in maniera intuitiva con gli asintotici, infatti basta sostituire ad $cosx$, $sqrt(1-(sinx)^2)$, ed osservare che nell'intorno $x=0$ si può sostituire ad $sinx$ la funzione $x$ avendosi $lim_(x->0)sinx/x=1$, otteneniamo così $lim_(x->0)(sqrt(1-x^2))^(1/(x^2))$, a questo punto ragionando sul comportamento locale della radice, avremo che,

$(1-x^2/2)^2$ $=(1-x^2+x^4/4)$, essendo che il termine $x^4/4$ nell'intorno di $x=0$ è un infinitesimo trascurabile, il nostro limite diventa $lim_(x->0)(1-x^2/2)^(1/(x^2))=lim_(x->0)((1-x^2/2)^(2/(x^2)))^(1/2)=1/(sqrt(e))$;

Analogamente si può ragionare, ad esempio, nel caso avessimo avuto il limite $lim_(x->0)(cosx)^(1/x)$, in tal caso risulterebbe:

$lim_(x->0)(1-x^2/2)^(2/(x^2)))^(x/2)=1/(e^0)=1$.
Che ne pensate?