Dimostrazione per induzione?

[gugione]

Ciao,

Ho questo esercizio: "dimostrare che $e^x > 2x - 1/4$ per ogni x appartenente a R".
NON posso effettuare lo studio di funzione (ordine del prof). Secondo voi posso proseguire per induzione? Questa è l'idea che mi é ballenata in testa
Che dite? Sarebbe fattibile?
Partirei con il dire che per un un valore iniziale (x = 0) la disequazione é vera: $1 > - 1/4$
poi analizzerei per il valore successivo (x + 1):
$e^(x+1) > 2(x+1) -1/4$
$e^(x) e > 2(x+1) - 1/4$
a questo punto sostituisco $e^(x)$ con $2x - 1/4$
$(2x - 1/4) e > 2(x + 1) - 1/4$
E posso quindi affermare che é vera per induzione.
Che dite? Fattibile? Oppure non può funzionare?
Grazie

[Frink]

Come fai a indurre su $\mathbb{R}$? Dove li metti tutti i reali tra $n$ e $n+1$?

Mi par di ricordare che si possa formulare un principio di induzione su $\mathbb{R}$ ma non fa di certo al caso tuo.

[gugione]

Ho avuto anche io questo dubbio. Ma non mi vengono in mente alternative allo studio di funzioni. Poi io ho pensato all'induzione in quanto il prof ha detto che bisogna risolverlo con un metodo fatto a lezione ma che sia differente dallo studio di funzioni. Altro non mi é venuto in mente
Tu hai qualche idea?

[jitter]

Ce l'hai fatta, poi? Ho provato anch'io ma non mi è venuta nessuna idea...

[gugo82]

Beh, se puoi usare il fatto che:
\[
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\]
il gioco è fatto.
Infatti, se \(x\leq 0\), la tua disuguaglianza è certamente soddisfatta; mentr per $x>0$ troncando la serie trovi:
\[
e^x > 1+x+\frac{1}{2}\ x^2
\]
e si vede facile che il secondo membro è \(>2x-\frac{1}{4}\).

[gugione]

Mi hanno consigliato questa risoluzione (che non so se sia corretta o meno XD).
$ e^x - 2x + 1/4 > 0$
calcolare la derivata prima e trovare i punti di max/min
$e^x - 2 > 0$ ---> $x > ln(2)$ è un minimo!!
Limiti a + infinito (per x che tende a + o - infinito).
Poi ho considerato l'immagine del minimo (f(ln(2)) verificando che la funzione sta sopra l'asse delle x, il che significherebbe la differenza delle 2 è positiva . Lo è? Si, in quanto l'immagine del punto stazionario è positiva (compresa fra 0 e 1) e di conseguenza la funzione è positiva

[Frink]

Ma se anche i conti fossero corretti (non ho controllato), quello si chiama studio di funzione, e cito:

NON posso effettuare lo studio di funzione (ordine del prof).

La strada di gugo82 non ti convince?

[gugione]

uhm, si si...hai ragione!!! A riguardare meglio mi sembra abbastanza convincente, ha usato lo sviluppo di taylor di $e^x$.
Il problema è che non capisco se posso o meno svolgerli sempre così (nel caso non possa usare lo studio di funzioni). Un esempio è dato da un esercizio simile:

"Dimostrare che la seguente affermazione è vera: $sqrt(x) > ln(x)$ per $x>0$.
In questo caso non posso usare la stessa tecnica in quanto non conosco lo sviluppo di Taylor. O sbaglio?

[gugo82]

Il problema è che non capisco se posso o meno svolgerli sempre così (nel caso non possa usare lo studio di funzioni).

E perchè dovresti voler svolgere un esercizio sempre allo stesso modo???
Formule magiche non esistono.

L'unica cosa su cui puoi fare sempre affidamento è la tua capacità di ragionamento... Il resto è un placebo.

Un esempio è dato da un esercizio simile:

"Dimostrare che la seguente affermazione è vera: $sqrt(x) > ln(x)$ per $x>0$.
In questo caso non posso usare la stessa tecnica in quanto non conosco lo sviluppo di Taylor. O sbaglio?

Fatta la sostituzione $x=e^y$, la disuguaglianza si muta in:
\[
e^{\frac{y}{2}}>y\; \ldots
\]
e qui di nuovo puoi provare con Taylor.

[gugione]

Ah, ho capito!
Grazie mille allora, ora mi conpleto l'esercizio