Es.1(8) integrali: scomposizione in fratti semplici

[Caterpillar]

Sto svolgendo un esercizio la quale traccia e soluzione è:


Questa è la mia procedura: siccome il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore, opero la seguente divisione
\( \displaystyle \frac{x^4+1}{x^2+2x+2} \)
che come quoziente mi da
\( \displaystyle x^2-2x \)
e come resto
\( \displaystyle 4x+1 \)
quindi dovrei avere
\( \displaystyle (x^2-2x)+\frac{4x+1}{x^2+2x+2} \)
ora dovrei operare la scomposizione in fratti semplici di quest'ultimo pezzo, ovvero
\( \displaystyle \frac{4x+1}{x^2+2x+2} \)
ma il Delta del denominatore è minore di zero, e l'unica scomposizione che mi viene in mente è
\( \displaystyle (x+1)^2+1 \)
e da qui non so in quante parti occorre scomporre, ad esempio ipotizzando una cosa del genere
\( \displaystyle \frac{A}{(x+1)+1}+\frac{Bx+C}{(x+1)^2+1} \)

[ad201903191857]

[@melia]

Quando ti trovi di fronte ad una frazione del tipo $(ax+b)/((cx+d)^2+1)$ devi scomporla nella forma
$(A*text{derivata del denominatore})/((cx+d)^2+1) + B/((cx+d)^2+1)$
Nel caso specifico
$(4x+1)/(x^2+2x+2)= (4x+1)/((x+1)^2 +1) = (A(2x+2))/((x+1)^2 +1) + B/((x+1)^2 +1) $ il primo si integra come un logaritmo perché il numeratore è la derivata del denominatore, mentre il secondo con l'arcotangente
$int (4x+1)/(x^2+2x+2) dx = A*ln ((x+1)^2+1) + B*arctan(x+1) +c$

[Caterpillar]

melia, proseguendo ho fatto
\( \displaystyle \frac{4x+1}{x^2+2x+2}=\frac{4x+1}{(x+1)^2+1}=\frac{A(2x+2)}{(x+1)^2+1}+\frac{B}{(x+1)^2+1}=\frac{2Ax+2A)}{(x+1)^2+1}+\frac{B}{(x+1)^2+1} \)
\( \displaystyle \begin{cases}
2A=4 \\
2A+B=1
\end{cases}
\begin{cases}
A=2 \\
B=-3
\end{cases} \)
quindi alla fine avrei dovuto avere

\( \displaystyle \frac{2(2x+2)}{(x+1)^2+1}+\frac{-3}{(x+1)^2+1} \)

tuttavia l'eserciziario anziché avere come soluzione del pezzo in questione

\( \displaystyle 2ln((x+1)^2+1)-3arctg(x+1)+C \)
ha
\( \displaystyle 2x-3arctg(x+1)+C \)
come mai?

[@melia]

Semplice, avevi sbagliato la divisione iniziale.
$(x^4+1)/(x^2+2x+2)= x^2-2x+2-3/(x^2+2x+2)$

Quello che ho calcolato è l'integrale di $(4x+1)/(x^2+2x+2)$, come avevi richiesto, solo che quello che ti serviva era l'integrale di $-3/(x^2+2x+2)$, assai più semplice.