Due funzioni il cui prodotto è ...

[brownbetty]

Salve a tutti.

Mi chiedevo se possono esistere due funzioni $f(x)$ ed $g(y)$ tali che $f(x)*g(y) = x +y$.

E' possibile una cosa del genere ?

Grazie a tutti.

[Raam]

Ciao.


Proviamo così, anche se non sono molto convinto; chiamo $f$ e $g$ le funzioni (perché non le stiamo cercando identiche) e riscrivo la condizione così:

$f(x)=\frac{x+y}{g(y)}=\frac{x}{g(y)}+\frac{y}{g(y)}$

Adesso, affinché $f(x)$ sia effenttivamente funzione della sola variabile x, sarebbe necessario far sparire la y nel secondo membro, che è impossibile.

Se $g(y)=1$ allora $f(x)=x+y$; se $g(y)=y$ quindi $f(x)=x/y+1$.


AGGIUNGO:
Per riscrivere la condizione in quel modo si è supposto $g(y)\neq 0$. Adesso se $g(y)=0$ si ha, per ogni x e y:
$0 = x+y$
che è chiaramente falso.

[brownbetty]

Ciao, grazie per aver risposto! Ho modificato il nome delle due funzioni, seguendo il tuo ragionamento.
La tua vedo che è una dimostrazione per assurdo. Che cosa non ti convince di essa ?

[Raam]

Due cose non mi convincono: la prima è che non studio matematica e perciò non so neppure di cosa sto parlando.
La seconda è questa.. definisco due funzioni:
$f:A\to\mathbb{R}$ e $g:B\to\mathbb{R}$
Con $A={0}$ e $B\subset\mathbb{R}$.
$f(x)=1$ e $g(y)=y$.

In altre parole ho scelto due funzioni, una la restrizione sul solo punto 0 di una funzione costante. Qualcuno me lo impedisce? E l'altra la funzione identica (o meglio, tale è se $B=\mathbb{R}$).

Quindi è vero che, per ogni $x\inA$ e per ogni $y\inB$, si abbia $f(x)\cdotg(y)=x+y$.


Questo vale come controesempio. Ovviamente questa $f$ non rientra nel tipo di funzione che "ti saresti aspettato", perciò dovresti aggiungere qualche ipotesi aggiuntiva se vuoi che due funzioni soddisfacenti tale condizione non esistano.

[vict85]

Esiste un dimostrazione per assurdo molto più semplice.

Supponiamo esistano \(\displaystyle f,g \) con quella proprietà. Allora \(\displaystyle f(x)g(-x) = x-x = 0 \) pertanto \(\displaystyle f(x) = 0 \) oppure \(\displaystyle g(-x)=0 \) (\(\displaystyle \mathbb{R} \) è un campo/dominio d'integrità¹). Supponiamo che sia \(\displaystyle f(x) = 0 \), ma allora \(\displaystyle f(x)g(y) = 0g(y) = 0 \) contro le ipotesi. Il caso \(\displaystyle g(-x) \) porta allo stesso tipo di assurdo.

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Note

1. Ogni campo è un dominio di integrità. ↑

[Raam]

In altre parole, se ho ben capito, l'insieme ${0}$ non lo posso "usare" come ho fatto io in quanto non soddisfa la condizione $0\ne1$ (messa a posta per questo, tra l'altro), o.. qualcosa del genere, e quindi alla fine mi è davvero impedito di costruire quella funzione, .
In $\mathbb{R}$ il mio discorso è sbagliato. Non ne avevo idea XD...

Avevo trovato anche un altra coppia di funzioni, più carina, ma con lo stesso "difetto":
$f(x)=g(x)=\sqrt{-|x|}$.

[brownbetty]

Grazie a tutti per le risposte !

Supponiamo che sia f(x)=0, ma allora f(x)g(y)=0g(y)=0 contro le ipotesi.

L'ipotesi che avevamo fatto era $f(x)g(y) = x + y != 0$ ?

[vict85]

Controlla meglio. Io ho mostrato che \(\displaystyle \forall y\in\mathbb{R},\, f(x)g(y) = 0 \).

[brownbetty]

Perdonami, non capisco dove sta la contraddizione.

[vict85]

Lo scrivo più esplicito \( \displaystyle \forall y\in\mathbb{R},\, y = 0 + y = f(x)g(y) = 0 \)