La mia idea era quella di esplicitare y da $ sinx=a^y $ cosi' $ y=ln(sinx)/lna $, valida per $ a!=1 $.
Allora per tutti gli x per i quali la funzione ha un senso ossia $ sinx>0 $ quindi $ 0<x<pi $, $ 2pi<x<3pi $ etc ho una y corrispondente. Per capire proviamo a considerare a=e. Avrei $ 0<x<pi $ [considero solo il primo intervallo per chiarezza] e l'immagine relativa a $ 0<x<=pi/2 $ e' $ (-oo,0] $. Mi fermo a pi/2 essendo su tale intervallo la funzione iniettiva, cosicche' posso considerare il prodotto dei rispettivi intervalli: $ (0,pi/2)x(-oo,0] $. Ora tale insieme e' chiuso sse entrambi gli insiemi di partenza sono chiusi, ma questo e' palesemente falso! Mettere insieme l'altro pezzo da $ pi/2<x<pi $ ovviamente non e' un problema procedendo analogamente e ricordando che un unione finita di chiusi e' ancora chiusa...Qualcosa non mi torna e cosi' ho cancellato il messaggio...