Re: Spazi metrici

Messaggioda ostrogoto » 28/01/2015, 01:21

La mia idea era quella di esplicitare y da $ sinx=a^y $ cosi' $ y=ln(sinx)/lna $, valida per $ a!=1 $.
Allora per tutti gli x per i quali la funzione ha un senso ossia $ sinx>0 $ quindi $ 0<x<pi $, $ 2pi<x<3pi $ etc ho una y corrispondente. Per capire proviamo a considerare a=e. Avrei $ 0<x<pi $ [considero solo il primo intervallo per chiarezza] e l'immagine relativa a $ 0<x<=pi/2 $ e' $ (-oo,0] $. Mi fermo a pi/2 essendo su tale intervallo la funzione iniettiva, cosicche' posso considerare il prodotto dei rispettivi intervalli: $ (0,pi/2)x(-oo,0] $. Ora tale insieme e' chiuso sse entrambi gli insiemi di partenza sono chiusi, ma questo e' palesemente falso! Mettere insieme l'altro pezzo da $ pi/2<x<pi $ ovviamente non e' un problema procedendo analogamente e ricordando che un unione finita di chiusi e' ancora chiusa...Qualcosa non mi torna :o :shock: e cosi' ho cancellato il messaggio...
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Re: Spazi metrici

Messaggioda vict85 » 28/01/2015, 05:34

Capito. La mia prima risposta è di per se completa e inconfutabile: la funzione \(f(x,y) = \sin x + a^y\) è continua e l'insieme cercato è la controimmagine di un chiuso, e perciò è chiuso.

La funzione da te segnata mostra che \(f\) è localmente il grafo di una funzione continua, quindi di fatto è continua su ogni punto del suo dominio. Di fatto è il grafo di una funzione il cui dominio è fatto di insiemi aperti. Ma sugli estremi di quegli intervalli la funzione va a meno infinito. Quindi il limite di quelle successioni non appartiene a \(\mathbb{R}^2\).

Visivamente, o intuitivamente se preferisci il termine, hai un insieme numerabile e disgiunto di funzioni concave con massimo sulla retta \(y=0\). Essendo un insieme numerabile di chiusi non è possibile concludere automaticamente, è più comodo passare al complementare e costruirlo come unione di aperti. Non è troppo difficile lavorare in tal senso.
Insomma prendi la controimmagine di ogni \(\cap\) ed intersecala con un \(I\times\mathbb{R}\) sufficiente piccolo da contenere solo la \(\cap\) voluto, ma sufficientemente grande da intersecarsi con gli altri aperti generati in modo simile. Si può fare il tutto in modo preciso. Ma il primo metodo è decisamente il migliore.
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Re: Spazi metrici

Messaggioda ostrogoto » 28/01/2015, 09:25

Il mio errore sta a monte: il grafico della funzione non corrisponde al prodotto cartesiano $ (0,pi/2)x(-oo,0] $ perche' nel prodotto cartesiano a ogni termine del primo intervallo si associano tutti i termini del secondo, mentre nel grafico a ogni x corrisponde una e una sola y.
Rivediamo. Supponiamo per semplicita' $ a=e $
Considero il grafico della $ f=ln(sin(x))/(lna) $, ossia le coppie $ (x,f(x)) $. Ora f e' definita su $ (0,pi) $, $ (2pi,3pi) $, etc...
f e' continua su ognuno degli intervalli dove e' definita.
In un esercizio ho trovato che se f e' continua tra due spazi topologici $ f:XrarrY $ (qui funziona perche' gli spazi metrici sono topologici) allora il grafico e' omeomorfo a X. E siamo dacccapo perche' allora il grafico sarebbe omeomorfo all'unione di aperti del tipo $ (kpi,(k+1)pi) $ quindi aperto...
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Re: Spazi metrici

Messaggioda vict85 » 28/01/2015, 11:48

Si, ma stai dando al grafico la topologia indotta (insomma stai dando la topologia prodotto tra quella di \(X\) e quella indotta su \(f(X)\) ). Insomma \(f(X)\) è aperto nella topologia indotta, ma non è necessariamente aperto come sottoinsieme di \( Y\). È una differenza non da poco.

Anche perché non ci possono essere omeomorfismi tra aperti di “dimensioni differenti” (è un teorema che si dimostra usando la topologia algebrica e non è immediato come potrebbe sembrare). http://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain (guarda le conseguenze)
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Re: Spazi metrici

Messaggioda ostrogoto » 28/01/2015, 13:08

Ho paura che non ci siamo intesi sul grafico che definisco (dal libro) cosi':
data $ f:XrarrY $ il grafico e' l'insieme dei punti di XxY della forma $ (x,f(x)) $, mentre tu consideri l'immagine della funzione quindi un sottoinsieme di Y e infatti parli di "aperto come sottoinsieme di Y ". Per me se X aperto allora l'esercizio garantisce che se la funzione f e' continua allora l'insieme delle coppie (x,f(x)) e' un aperto nella topologia XxY essendoci un omeomorfismo tra X aperto et l'insieme delle coppie in questione.

Ma se $ f:AsubRRrarrRR $ allora l'omeomorfismo tra A e il grafico (ossia le coppie (a,f(a)) )e' possibile e non vedo il problema dimensionale: ad ogni elemento $ainA $ associo la coppia $ (a,f(a)) $. La corrispondenza e' chiaramente biunivoca perche' preso $ bar(a)inA $ ho un solo elemento $ (bar(a),f(bar(a))) $ con quell'$bar(a)$ come primo elemento. Suriettivita' ovvia.
La continuita' dell'omeomorfismo e' garantita dalla continuita' della f.
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Re: Spazi metrici

Messaggioda vict85 » 28/01/2015, 14:28

Usando il cannone che ti ho citato, un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R} \) NON può essere omeomorfo ad un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Ci sono invarianti topologici che lo impediscono. Di fatto se il dominio è un aperto di \(\mathbb{R}^n\) e la immagine è in \(\mathbb{R}^s\) il grafo non sarà MAI aperto in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n+s} \).

Venendo a ciò che non hai capito del teorema che citi. Tu hai che \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle \{ (x,f(x)) : x\in X \} \) sono omeomorfi, ma questo non significa che \(\displaystyle \{ (x,f(x)) : x\in X \} \) sia aperto in qualsiasi spazio che lo contiene (\(\displaystyle X \) è banalmente sempre aperto). Significa che \(\displaystyle \{ (x,f(x)) : x\in X \} \) dotato della topologia INDOTTA dalla topologia prodotto su \(\displaystyle X\times Y \) è omeomorfo a \(\displaystyle X \).

Considera per esempio una retta. Una retta in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) è omeomorfa a \(\displaystyle \mathbb{R} \) ma è chiuso e non aperto.

Anzi, ti dirò di più. Il grafo di una funzione continua tra \(\mathbb{R}^n\) e \(\mathbb{R}^s\) è SEMPRE un insieme chiuso perché controimmagine di un chiuso (un singolo punto in \(\mathbb{R}^s\) è sempre chiuso) tramite una funzione continua.
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