da Noisemaker » 28/01/2015, 18:06
Per la prima serie, a termini positivi, conviene scrivere il termine generale in forma esponenziale e applicare il confronto asintotico: quando $n\to+\infty$ hai che
\begin{align}
\exp\left[\displaystyle\frac{n^3+1}{n-2}\ln\left(\frac{n^3+2n^2}{n^3-n+1}\right)\right]&\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{n^3+2n^2}{n^3-n+1}-1\right)\right]=\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2n^2+n-1}{n^3-n+1}\right)\right]\\
&\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2n^2 }{n^3 }\right)\right]\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2 }{n }\right)\right]
=\exp\left[ 2n \right]\to+\infty,
\end{align}
quindi la serie diverge per confronto; per la seconda serie il procedimento è analogo, applicando il confronto asintotico, essendo una serie a termini positivi, hai che
\begin{align}
\ln\left(\frac{1}{2-3^{1/n}}\right)\sim \frac{1}{2-3^{1/n}}-1=\frac{3^{1/n}-1}{1-3^{1/n}} \to \mbox{non converge,}
\end{align}
dove l'ultimo termine generale non è infinitesimo, quindi non convergente.
Dobbiamo Sapere, e Sapremo