Integrazione di Poisson: Passaggi "delicati"

[Flamber]

Buongiorno,

Ho deciso di mettere questo post in "matematica", nonostante in apparenza troverebbe la sua più naturale collocazione in "fisica", o ancor di più in "ingegneria", perchè il mio è un problema più matematico che fisico.

Per questo, chiedo a chiunque legga il post, di tralasciare il significato fisico delle variabili e dei parametri, e a chiunque abbia voglia di aiutarmi di concentrarsi più sui passaggi matematici che sul resto, che potrebbe risultarvi meno ovvio, prorpio perchè sono argomenti generalmente non affrontati da chi studia matematica pura.

Come molte volte accade in un corso di ingegneria, quando si parla di argomenti più applicativi che teorici, la comodità di non impelagarsi nell'algebra infinitesimale, prende il posto del formalismo e del rigore matematico, arrivando comunque, ad un risultato corretto. Insomma ne facciamo un po' di cotte e di crude, con quei "dx", da far finire un matematico in psicoterapia.

Ora tralasciando il significato di ogni singola variabile, vi basti sapere che sto cercando di integrare la funzione di poisson, al fine di ottenere il campo elettrico nel silicio di un sistema Metal-Oxide-Semiconductor, avendo una distribuzione di carica tutt'altro che lineare. Mi spiego meglio:

L'equazione di Poisson ci dice che:

$(del^2\psi)/(delx^2)=(\rho(x))/(\epsilon)$

$(\epsilon)$ è una costante nota. Inoltre prima di integrare, aggiungo delle relazioni necessarie.


$(del\psi)/(delx)=-\xi=" campo elettrico "$
Chiarisco fin da subito, che l'obiettivo è quello di trovare $\xi(x)$


mentre la funzione $\rho(x)$ è la seguente:

$\psi$ e $\xi$ sono funzioni di x,a volte lo ometterò per comodità, ma tenetene conto, mentre le altre sono tutte costanti.

$\rho(x)=+q[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]$

Da quanto scritto fino a qui, possiamo dire che:

$(del^2\psi)/(delx^2)=+q/(\epsilon)[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]$

Adesso inizia la "danza" dei $dx$ che immagino sia sbagliata formalmente, e che vorrei fosse chiarita.
Vi riporto la dimostrazione così come mi è stata data

innanzitutto c'è un cambio di variabile:

$Y=(del\psi)/(delx)=-\xi$ $rArr$ $(del\Y)/(delx)=(del^2\psi)/(delx^2)$

$d\Y=(del^2\psi)/(delx^2)*dx$

Posso moltiplicare a destra e sinisrt per $(del\psi)/(delx)*dx$:

$(del^2\psi)/(delx^2)*(del\psi)/(delx)*dx=+q/(\epsilon)[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]*(del\psi)/(delx)*dx$

Dovrebbe venire qualcosa del genere:

$dY*(del\psi)/(delx)=+q/(\epsilon)[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]*(del\psi)/(delx)*dx$

$(del\psi)/(delx)=-\xi$

$dY*(-\xi)=+q/(\epsilon)[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]*(-\xi)*dx$

ora dovrei trovare $\xi(x)$, sempre considerando che

$Y=(del\psi)/(delx)=-\xi$

Ed è qui che mi blocco, come posso procedere, e quali sono i passaggi non corretti formalmente?



Ringrazio in aticipo chiunque mi voglia dare una mano.


P.S. se trovate noioso fare riferimento alle lettere greche, usate pure variabili a vostro piacimento.

[Flamber]

avevo dimenticato di dire che a primo membro integra in $dY$, mentre a secondo membro integra in $d\psi$... è possibile fare qualcosa del genere?

$dY*(del\psi)/(delx)=+q/(\epsilon)[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]*(del\psi)/(delx)*dx$
$dY*(del\psi)/(delx)=+q/(\epsilon)[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]*(del\psi)$
$-\xidY=+q/(\epsilon)[p(e^(-\psi/(V_T))-1)-n(e^(\psi/(V_T))-1)]*(del\psi)$