ciao
molto elegante la spiegazione di Flamber, complimenti
mi piacerebbe dire la mia sull'argomento, dato che anch'io mi sono posto qualche anno fa la stessa domanda, quando ero alle prese con analisi matematica 1...
dalla domanda si intravede un po' di confusione. Partiamo dal principio.
anzitutto: cos'è la derivata prima, in parole poverissime? utilizzando la notazione di Leibniz del calcolo infinitesimale, la derivata prima è un $dy/dx$: quindi è la variazione della funzione in un punto in un certo $dx$, cioè in un intervallo infinitesimo. Il succo è che è la variazione infinitesima della funzione in un pezzettino che chiamiamo $dx$.
i punti in cui la derivata prima si annulla sono chiamati stazionari. Perché? beh quando $dy/dx = 0$ c'è poco da fare: il $dy=0$ in quel $dx$. quindi la funzione, semplicemente, NON varia in quel dx. è costante.
esempi di punti stazionari sono : massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale. Sono dei punti in cui la funzione è praticamente asintotica a una tangente orizzontale. Cioè nell'intorno di quei punti la funzione e il grafico di una tangente orizzontale sono praticamente uguali.
se andassimo a zoomare tantissimo nei punti stazionari nell'immagine, praticamente il grafico della funzione e quello della tangente orizzontale sarebbero la stessa cosa.
passiamo alla derivata seconda. questa è un $(d^2y)/dx^2$, è dunque un concetto comunque legato a quello di derivata prima; è un rapporto che indica sempre la variazione della funzione nell'intorno di un dato punto. A testimonianza di ciò, un punto in cui la derivata seconda è uguale a zero potrebbe essere anche un punto di massimo o minimo della funzione.
Anche qui quando la derivata seconda in un punto si annulla, la funzione potrebbe ivi avere tre tipologie di casi: massimo, minimo, e flesso a tangente obliqua.
Ora, la domanda è: perchè quando la derivata seconda si annulla ci può essere un flesso a tangente obliqua, che indica un cambio di concavità della funzione in quel punto?
Esistono, come ha sottolineato Flamber, una miriade di dimostrazioni..
parlando in modo particolarmente spiccio, a me piace ricondurmi a uno sviluppo locale di Taylor. In pratica quando la derivata seconda è positiva, il grafico della funzione sta sopra la tangente che approssima la funzione al primo ordine(cioè la derivata prima), viceversa quando la derivata seconda è negativa la funzione è concava, cioè il grafico della parabola che approssima la funzione in quel punto sta tutto sotto la tangente. (puoi osservarlo nell'immagine sopra)
sai che lo studio del segno della derivata prima indica dove questa è crescente e dove è decrescente, no? Beh, con la derivata seconda è più o meno lo stesso, ma in questo caso si parla di andamento convesso e concavo...