convessità-concavità e derivata seconda (dubbio teorico)

[Chiò]

Ciao ragazzi, studiando la derivata seconda e il suo segno posso determinare dove la funzione è concava e dove e convessa, il mio dubbio è perché la derivata seconda ci da una tale informazione? Cioè geometricamente cosa indica il segno della derivata seconda e perché non ci limitiamo a studiare la derivata prima? Spero che qualcuno possa farmi capire, non ne ne vengo a capo da solo

[Flamber]

Secondo me questo dubbio nasce da un problema fondamentale della didattica in italia (e non so nel resto del mondo).

Perchè se prima venissero introdotti gli integrali, con il teorema fondamentale del calcolo integrale, tutto sarebbe più chiaro.
Cerco di spiegartelo come posso, non come farebbe un matematico, nei limiti delle mie capacità, e soprattutto senza alcun formalismo matematico.



parti dalla funzione verde, e fai conto, per semplicità che area dei triangolini sia uguale, cioè praticamente $B=A$.

Ora senza nemmeno pensare all'equazione che descrive quella funzione, prova ad integrarla (definitamente, tra A e B) mentalmente. La funzione in rosso, che rappresenta la funzione integrale della funzione verde, tra -A e 0, cresce (in modulo) prima più velocemente e poi più lentamente, questo è dovuto al fatto che più ti allontani da -A, meno l'area che calcoli dà contributo all'area totale del triangolo. Stessa cosa puoi dire per l'altro triangolino tra 0 e B. Ovviamente l'integrale torna a 0, perchè l'area dei due triangoli è uguale.

Ragionamento analogo, puoi fare integrando la funzione rossa e ragionando sempre sull'area, ed ottieni la funzione in blu.

Se hai capito il ragionamento in questo senso, basta ripercorrerlo in senso opposto, per capire il significato della derivazione.

Tra -A e 0, la funzione blu decresce con la concavità verso il basso, ed infatti, la sua derivata prima (quella rossa) e la sua derivata seconda (quella verse) sono negative. Tra 0 e B, la funzione blu decresce con la concavità verso l'alto, e quindi la derivata prima è negativa, mentre la derivata seconda è positiva.

Mi rendo conto di non essermi spiegato molto bene, se hai qualche dubbio, chiedi pure, se hai bisogno di una giustificazione più formale, cerca di capire il senso del teorema fondamentale del calcolo integrale.

[Chiò]

Ti ringrazio di cuore per la disponibilità, per me questo è un argomento parecchio delicato. Io ho interpretato così la questione: se so che il segno della derivata seconda ad esempio è positivo, ciò vuol dire che la derivata prima sarà crescente e quindi che le rette tangenti al grafico di una funzione passeranno spostandosi da sinistra verso destra da un inclinazione negativa a una positiva e quindi so che la mia funzione è convessa, è giusto? Invece non ho bene capito il nesso col teorema fondamentale del calcolo integrale, questo teorema in pratica geometricamente cosa mi dice sulla convessità di una funzione?

[Flamber]

Sicuramente mi sono spiegato parecchio male. Comunque si possono trovare 1000 giustificazioni diverse per spiegare questa cosa.

Io ho semplicemente fatto un ragionamento sull'area sottesa da quelle funzioni, e poi ho riletto i risultati al contrario.

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ciao

molto elegante la spiegazione di Flamber, complimenti

mi piacerebbe dire la mia sull'argomento, dato che anch'io mi sono posto qualche anno fa la stessa domanda, quando ero alle prese con analisi matematica 1...

dalla domanda si intravede un po' di confusione. Partiamo dal principio.

anzitutto: cos'è la derivata prima, in parole poverissime? utilizzando la notazione di Leibniz del calcolo infinitesimale, la derivata prima è un $dy/dx$: quindi è la variazione della funzione in un punto in un certo $dx$, cioè in un intervallo infinitesimo. Il succo è che è la variazione infinitesima della funzione in un pezzettino che chiamiamo $dx$.

i punti in cui la derivata prima si annulla sono chiamati stazionari. Perché? beh quando $dy/dx = 0$ c'è poco da fare: il $dy=0$ in quel $dx$. quindi la funzione, semplicemente, NON varia in quel dx. è costante.
esempi di punti stazionari sono : massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale. Sono dei punti in cui la funzione è praticamente asintotica a una tangente orizzontale. Cioè nell'intorno di quei punti la funzione e il grafico di una tangente orizzontale sono praticamente uguali.



se andassimo a zoomare tantissimo nei punti stazionari nell'immagine, praticamente il grafico della funzione e quello della tangente orizzontale sarebbero la stessa cosa.

passiamo alla derivata seconda. questa è un $(d^2y)/dx^2$, è dunque un concetto comunque legato a quello di derivata prima; è un rapporto che indica sempre la variazione della funzione nell'intorno di un dato punto. A testimonianza di ciò, un punto in cui la derivata seconda è uguale a zero potrebbe essere anche un punto di massimo o minimo della funzione.
Anche qui quando la derivata seconda in un punto si annulla, la funzione potrebbe ivi avere tre tipologie di casi: massimo, minimo, e flesso a tangente obliqua.

Ora, la domanda è: perchè quando la derivata seconda si annulla ci può essere un flesso a tangente obliqua, che indica un cambio di concavità della funzione in quel punto?
Esistono, come ha sottolineato Flamber, una miriade di dimostrazioni..

parlando in modo particolarmente spiccio, a me piace ricondurmi a uno sviluppo locale di Taylor. In pratica quando la derivata seconda è positiva, il grafico della funzione sta sopra la tangente che approssima la funzione al primo ordine(cioè la derivata prima), viceversa quando la derivata seconda è negativa la funzione è concava, cioè il grafico della parabola che approssima la funzione in quel punto sta tutto sotto la tangente. (puoi osservarlo nell'immagine sopra)

sai che lo studio del segno della derivata prima indica dove questa è crescente e dove è decrescente, no? Beh, con la derivata seconda è più o meno lo stesso, ma in questo caso si parla di andamento convesso e concavo...

[Chiò]

Vi ringrazio ragazzi comincia ad essere più chiaro l'argomento ora, ci studierò su ancora e poi rivedrò le vostre fantastiche spiegazioni