Salve a tutti, sto studiando la costruzione di una funzione che è integrabile secondo Lebesgue ma non essenzialmente Riemann integrabile.
Considero i razionali in $[0,1]$ in successione ${q_k}$.
Considero l'insieme aperto $A=uuu_(k=1)^prop ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ che è misurabile secondo Lebesgue e la cui misura per la numerabile subadditività è $lambda(A)<=1/2$
Ora, perchè in $[0,1]$ la funzione $chi_(A_n)$ caratteristica dell'insieme
$A_n=uuu_(k=1)^n ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ è Riemann integrabile?
Invece la funzione $chi_A$ caratteristica dell'insieme
$A=uuu_(k=1)^prop ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ non è Riemann integrabile?
Posso dire che $chi_A$ non è Riemann integrabile perchè di seguito mostro che non è essenzialmente Riemann integrabile?
Dopo di che credo di aver capito e vi scrivo il seguito:
Una qualsiasi altra funzione $g$ equivalente alla funzione caratteristica dell'insieme $A$ non è Riemann integrabile in $[0,1]$. Infatti comunque presa una partizione dell'intervallo [0,1] in sotto intervalli $[x_(i-1),x_i]$, supponendo per assurdo che $g$ sia Riemann integrabile allora sarà anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono.
Allora data la densità dei razionali si ha sup${g(x) | x in [x_(i-1),x_i]}>=1$
e $\int_0^1g(x)dx >=1$
Inoltre la funzione caratteristica di $A$ è il limite della successione delle funzioni caratteristiche degli $A_n$. Ciascuna di esse è maggiorata in modulo dalla funzione costantemente uguali ad $1$ che è integrabile. Allora posso applicare il teorema di convergenza dominata e dire che
$1<= int_0^1gdlambda =lim_(k->prop) int_0^1 chi_(A_k) dlambda <=1/2$ il che è assurdo.
Spero di essere stata chiara e grazie in anticipo