Lemma di Jordan

[Thyeme]

Ciao a tutti ragazzi! Mi servirebbe una delucidazione su un esercizio rigurdante il lemma di jordan.

L esercizio chiede di calcolare $\int_{R}^{} (sin^2(x))/x dx$

Usando il lemma di jordan si finisce per calcolare $-1/4int_{Gamma_("sopra")}^{} e^(-2iz)/z dz-1/4int_{Gamma_("sotto")}^{} e^(2iz)/z dz+1/2int_{Gamma}^{}1/z dz$

Ora la mia domanda riguarda proprio l ultimo integrale... perchè mettiamo che noi in $Gamma$ passiamo sopra alla singolarità presente in zero... allora il primo integrale non da contributo, per il secondo si calcola il residuo, mentre per il terzo? se con il terzo $Gamma$ la chiudiamo sopra allora non ci sono singolarità e verrebbe zero, mentre se $Gamma$ la chiudiamo sotto allora la singolarità in zero è presente!
Dove sbaglio?

Grazie!!