[Analisi II] Teorema del differenziale totale - Dubbi su dimostrazione

Messaggioda Zodiac » 29/01/2015, 19:07

salve ragazzi, dopo aver passato lo scritto di analisi 2, mi trovo a studiare per l'orale (e questo anche grazie al vostro grandissimo aiuto!!! :-D :-D :-D :-D ) ora quindi vi espongo un mio dubbio sulla dimostrazione del teorema del differenziale totale.

Non so quante dimostrazioni esistano di suddetto teorema, ma io utilizzo quella in cui si svolgono separatamente numeratore e denominatore del limite definizione di funzione differenziabile in x0 (ovvero quello che vogliamo dimostrare).
é tutto ok fino ad uno degli ultimi passaggi:
1- considero il numeratore del limite, scompongo il differenziale come gradiente (visto che il differenziale equivale al gradiente della funzione) e faccio tutti i passaggi fino ad applicare lagrange alle due "parti" del numeratore:
$ f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)=kfy(x0+h,sigma ) rarr y0<sigma<y0+k $
$ f(x0+h,y0)-f(x0,y0)=hfx(delta,y0 ) rarr x0<sigma<x0+h $
2-tengo il primo risultato da parte e svolgo il denominatore, sviluppandone la norma come radice quadrata della somma delle componenti al quadrato. essendo tali componenti $ h $ e $ k $ , allora verrà fuori $ sqrt(h^2+k^2) $
2- sostituisco tutto ciò che ho svolto nel limite iniziale (definizione di f differenziabile in x0) ed esce fuori un limite che non riesco a scrivere perchè l'editor delle formule mi da "math processing error", comunque da tale limite vedo che $ |h/sqrt(h^2+k^2)| $ ed $ |k/sqrt(h^2+k^2)| $ sono limitate poichè $ <=1 $ primo dubbio: se non notassimo la limitazione sarebbe la stessa cosa?
e successivamente vediamo che i limiti per h e k che tendono a zero di
*** $ k/sqrt(h^2+k^2)[fy(x0+h, sigma)-fy(x0,y0)]=0 $ e
*** $ h/sqrt(h^2+k^2)[fx(delta,y0)-fx(x0,y0)]=0 $ .
Ok, il secondo dubbio è il seguente:
il limite *** risulta zero poichè per $ h rarr0, y0<sigma<y0+h $ allora $ rArrsigmararry0 $ ora però se nella parentesi quadra faccio tendere $ sigma $ ad $ y0 $ , viene fuori $ fy(x0+h, y0)-fy(x0,y0) $ e non capisco come possa tendere a zero visto che c'è quell $ h $ aggiunto alla $ x0 $ . lo stesso problema invece, non si presenta nel limite *** poichè verrà fuori $ fx(x0,y0)-fx(x0,y0)=0 $ visto che per $ h rarr0 $ , $ x0<delta<x0+h $ , $ deltararrx0 $

Spero che si siano capiti i miei dubbi, grazie mille dell'aiuto in anticipo!
Zodiac
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Re: [Analisi II] Teorema del differenziale totale - Dubbi su dimostrazione

Messaggioda Zodiac » 01/02/2015, 14:41

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