da ad201903191857 » 30/01/2015, 03:54
se porti $2^n$ fuori diventa una serie a termini di segno alterno. Uso il criterio di Leibniz.
① $a_n$ è infinitesimo?
② $a_n > a_(n+1)$? il termine generale della serie è decrescente?
il termine generale della serie è infinitesimo.. se porti $2^n$ a denominatore diventa un $[0/0]$, puoi applicare de l'hopital..
si tratta di studiare un $lim_(n->oo) [D(log...)]/[D(n/2^n)]$.. la derivata di un log va a denominatore, siccome è un log composto resterà poi a numeratore la derivata di $1/(2^n*n^(1/3))$, la cui derivata ti ricordo è $-g(x)/[g(x)]^2$, quindi il quadrato (infinito di ordine superiore) va a denominatore e contribuisce a schiacciare a zero il tutto..
resta ② $(2^n/n)log(1+(1/(2^n*n^(1/3)))) > (2^(n+1)/(n+1))log(1+(1/(2^(n+1)*(n+1)^(1/3))))$ ?
prova a vedere con la derivata prima calcolata nel punto precedente..
qualitativamente parlando: il $log(1+\alpha)$ dove ($\alpha$ è un infinitesimo, come nel nostro caso) tenderà a zero sempre più velocemente per $n->oo$, giusto? è un fattore che, moltiplicato per una frazione (in questo caso $(2^n/n)$), la farà tendere a zero sempre più facilmente con l'aumentare di n... quindi il termine generale della serie decresce con l'aumentare di n..