Piano tangente a superficie in un punto

[Polar28]

Ciao a tutti, questo è il mio primo post sul forum.
Ho una domanda inerente al piano tangente ad una superficie in un punto:

Richiesta
Sia \(\displaystyle \sigma \left ( u,v \right )=\left ( uv,u+v,u-v \right ) \), con \(\displaystyle (u,v)\epsilon D \), dove D è la parte del cerchio di raggio 2 e centro (0,0) contenuta nel primo quadrante.
- Scrivere l'equazione del piano tangente in \(\displaystyle P=\sigma ( 1,1 ) \).

Svolgimento
Allora, \(\displaystyle D = \{ (u,v)\epsilon \mathbb{R}^{2} : u^{2}+v^{2} \leq 2\ , u\geq0 \ , v\geq0\} \)

Calcolo le coordinate del punto di interesse: \(\displaystyle P=\sigma ( 1,1 )=(1 \ ,2 \ ,0) \)
\(\displaystyle x_{0}=1 \)
\(\displaystyle y_{0}=2 \)
\(\displaystyle f_{(x_{0},y_{0})}=0 \)

A questo punto applico la formula nota del piano tangente:

\(\displaystyle z=f_{(x_{0},y_{0})}+\frac{\partial f_{(x_{0},y_{0})}}{\partial x} (x-x_{0})+\frac{\partial f_{(x_{0},y_{0})}}{\partial y} (y-y_{0}) \)

oppure con il gradiente
\(\displaystyle z=f_{(x_{0},y_{0})}+ \nabla f_{(x_{0},y_{0})}\cdot (x-x_{0} \ ,\ y-y_{0}) \)

\(\displaystyle z=0+(1,-1) \cdot (x-1,y-2) \)

Quindi il piano tangente trovato è \(\displaystyle z=x-y+1 \)


Il Risultato riportato nella correzione dell'esercizio è \(\displaystyle -4x+4y-4=0 \) ma a meno della costante \(\displaystyle -4 \) torna tutto tranne il valore di \(\displaystyle z \).

Potreste aiutarmi a capire l'eventuale errore?
(il risultato \(\displaystyle -4x+4y-4=0 \) più che un piano, mi sembra l'equazione di una retta..)

Vi ringrazio

[Polar28]

Grazie Tem! ho visto in ritardo la risposta, non mi è arrivata nessuna notifica purtroppo..
Grazie mille!