Equazione complessa

[gugione]

Ciao,

Sono alle prese con un'equazione complessa. Di solito non me la cavo male, ma questa volta non capisco se il mio approcio sia corretto o meno...

(z coniugato)^3 = $4 |z|$

io so che $|z| = sqrt(a^2 + b^2)$
E che z coniugato = $a - ib$
sostituisco nell'equazione: $(a - ib)^3 = 4(sqrt(a^2 + b^2))$
$(a^3 - i^3b^3 - 3a^2ib - 3ai^2b^2) = 4(sqrt(a^2 + b^2))$
$(a^3 + 3ib^3 - 3a^2ib + 3ab^2) = 4(sqrt (a^2 + b^2))$
ma ora? Mi tocca per forza elevare al quadrato? Mi sembra impegnativo onestamente parlando (i membri di sinistra sono molti). O esiste qualche "trucchetto" che mi permette di semplificare il tutto?
Grazie e buona serata

[Camillo]

Userei la notazione esponenziale $z=rho*e^(itheta) $ e quindi $ bar z = rho e^(-i theta) $ , prova a continuare..

[gugione]

Ciao,

grazie per la risposta Ho provato a fare come detto da te e sono arrivato un attimo a un punto morto. Ti mostro come ho eseguito l'esercizio:

$\rho^(3)e^(-3io) = 4\rho$ o identifica l'angolo

raccolgo $\rho$
$\rho(\rho^2e^(-3io) - 4) = 0$

sfrutto la legge dell'annullamento del prodotto:
$\rho = 0$ che presumo comporti $z = 0$
$\rho^2e^(-3io) = 4$
uguaglio i moduli $\rho^2 = 4$ --> $\rho = +2$ e $\rho = -2$

Ora Invece sono insicuro...non so bene come proseguire!!! XD
$e^(-3io) = 0$
trasformo in forma trigonometrica?
$cos(-3o) + isen(-3o) = 0$
ho posto poi $cos(-3o) = 0$ e $sen(-3io) = 0$ ...ma boh!! Anche riguardando un esercizio simile presente sui miei appunti non riesco a capire bene come muovermi in questa ultima parte...
Ti ringrazio ancora per la tua disponibilità

[Palliit]

Due osservazioni:

- il modulo $rho$ è definito non negativo;

- $4=4*1$, quindi dividendo per $4$ ambo i membri dell'equazione a destra del segno di uguaglianza non rimane $0$.

[gugione]

- il modulo $rho$ è definito non negativo; --> hai ragione cavolo!!! ci sarebbe solo la soluzione positiva

- $4=4*1$, quindi dividendo per $4$ ambo i membri dell'equazione a destra del segno di uguaglianza non rimane $0$.

Sull'ultimo punto?
Io ho che $rho^2 e^(-3io) = 4$
Ora uguaglio i modulo (quindi come scritto nel post precedente) oppure semplifico per 4? E qui mi chiedo...perché dovrei dividere a sinistra e destra per 4? (o forse ho frainteso cosa mi hai scritto sopra).
Anche perché poi nel caso divida otterrei un modulo differente, cioè non più pari a 2 ma pari a 1...
E per la parte successiva?
Grazie ancora raga, all'esame non sono riuscito a svolgerla e pertanto devo cercare di capirla bene

[Palliit]

Una volta fissato $rho=2$ hai:

$rho^2*e^(-3i theta)=4$__$to$__$4*e^(-3i theta)=4$__$to$__$e^(-3i theta)=1$,

non:

$ e^(-3io) = 0 $

[gugione]

Ah, ho capito! Ricavo $rho$ confrontando il modulo e poi quest'ultimo valore trovato lo pongo al posto della variabile $rho$ nell'equazione di partenza Una volta semplificato e ottenuto $e^(-3io) = 1$ come si prosegue esattamente?
io pensavo di porre $cos(-3o) = 1 $ e $sen(-3o) = 1$ ma vengono risultati strani e soprattutto non mi trovo in linea con quanto proposto in altri esercizi presenti sui miei appunti (il mio prof ha spiegato velocemente la forma esponenziale e quindi ho qualche buco )

Quindi poi farei $-3o = 2pi$ e $-3o = pi/2$
Grazie ancora per i continui chiarimenti

[Palliit]

io pensavo di porre $ cos(-3o) = 1 $ e $ sen(-3o) = 1 $

Ma come fanno un seno ed un coseno (dello stesso angolo) a valere contemporaneamente $1$ ?

[gugione]

ahahaha si si, hai ragione è che oggi sono un po cotto, sto studiando da stamattina, perdonami
Pongo $cos (-3o) = 1$ (e bastaaaaa XD)
da cui ricavo che $-3o = 2kpi$
$o = -(2kpi)/3$
Quindi $z = 2e ^((-i2kpi)/3)$ per k = 0, 1

Forse questa volta abbiamo partorito XD (a meno di errori)

soluzioni: $z_0 = 0$
$z_(1,2) = 2 e ^((-i2kpi)/3)$ per k = 0, 1
Cosa ne dici ora? È corretto?
Grazie

[Palliit]

Quindi $z = 2e ^((-i2kpi)/3)$ per k = 0, 1

Per $k=0,1,2$.