Dimostrazione con limite

[andre05]

Salve mi sto scervellando con questa dimostrazione

Siano h,g:(0, +infinito)---R due funzioni strettamente positive e sia il lim (x to+infinito) fx/gx=L
Dimostrare che Se L>1 fx>gx

Scusate la simbologia ma sto ancora imparando (work in progress..)

[jitter]

Benvenuto andre05, allora avrò l'onore di rispondere al tuo primo messaggio! (sperando di non fare una figuraccia )

Io applicherei la definizione di limite:

$ lim_(x -> +oo) f(x)/g(x)=L $ se $ AA epsilon>0EE M>0t.c.\forallx>M, |f(x)/g(x)-L|<epsilon $

$L-epsilon < f(x)/g(x)<L+epsilon $

Poiché L > 1 hai $1-epsilon < L-epsilon<f(x)/g(x)$ da cui $1-epsilon <f(x)/g(x)$ e $1 < f(x)/g(x) + epsilon$

Se per assurdo fosse $g(x) > f(x)$, cioè $f(x)/g(x)<1$, potresti scegliere $epsilon$ tale che $f(x)/g(x)+epsilon < 1$, ottenendo una contraddizione: $1 < f(x)/g(x)+epsilon < 1$.

Se invece, sempre per assurdo, fosse $f(x) = g(x)$ ,il limite del rapporto $f(x)/g(x)$ sarebbe 1, che contraddice l'ipotesi $L > 1$.