Studio esistenza integrale

[Sossella]

Buonasera a tutti, sono sempre io
Devo studiare l'esistenza dell'integrale $ int_(2)^(4) arctan(x/(x-3)) dx $
So che la funzione è continua in $ R\[3] $ perciò studio cosa succede in un intorno di 3
Se calcolo il limite per $ x->3 $ di $ f(x) $ ottengo che
$ lim_(x -> 3^-) arctan(x/(x-3))=-oo $
$ lim_(x -> 3^+) arctan(x/(x-3))=+oo $
Quindi ci sarà una cuspide, perciò la funzione non sarà continua in 3 ovviamente.
Io continuerei a studiare l'integrale nell'intervallo $ [2,3) (3,4] $
Ma penso di cominciare ad affondare da solo

[ad201903191857]

in 3 c'è una discontinuità (salto)--> la funzione non è integrabile in $[2;4]$

(occhio ai limiti, l'arco tangente in un intorno di $±oo$ tende a $±\pi/2$, rispettivamente)

[relue.KdMP]

1) la funzione è continua in x=3? come è possibile se poi il limiti in $x=3^+$ e $x=3^-$ sono infiniti?
2) in ogni caso, il risultato dei due limiti è errato
3) se anche fossero giusti, non vi sarebbe una cuspide ma un asintoto verticale

[jitter]

(occhio ai limiti, l'arco tangente in un intorno di ±∞ tende a ±π2, rispettivamente)

ok... a questo punto possiamo dire che, siccome $arctg(x/(x-3))$ tende a $+-pi/2$ (cioè a una valore finito) per $x->3$, allora l'integrale dato è la somma di due integrali convergenti $ int_(2)^(3) arctg(x/(x-3)) dx + int_(3)^(4) arctg(x/(x-3)) dx $, e quindi è convergente? Oppure si richiede anche il valore dell'integrale?

[Sossella]

Ciao! scusate per il ritardo ma non sono riuscito a collegarmi prima.
La funzione è continua in $ R-[3] $ mi ero dimenticato il segno $ - $
Mi chiedevano di dire se l'integrale converge.
Appurato che gli integrali $ int_(2)^(3) arctg(x/(x-3)) dx + int_(3)^(4) arctg(x/(x-3)) dx $ sono convergenti, allora anche l'integrale di partenza lo è.
Questo calcolando il $ lim_(epsilon ->0^+) int_(2)^(3-epsilon) arctg(x/(x-3)) dx = lim_(epsilon ->0^+) [1/(1+(x^2/(x^2-6x+9)))]_2^(3-epsilon) $ che da un valore finito. L'altro integrale lo si calcola sempre con lo stesso svolgimento.

giusto?

[Frink]

in 3 c'è una discontinuità (salto)--> la funzione non è integrabile in $[2;4]$

Occhio, la continuità è condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità, vedi Teorema di Vitali-Lebesgue.

La funzione è integrabile: quanto vale poi, è tutto un altro paio di maniche

[ad201903191857]

Messaggio da Frink » 02/02/2015, 01:08

Suv ha scritto:
in 3 c'è una discontinuità (salto)--> la funzione non è integrabile in [2;4]


Occhio, la continuità è condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità, vedi Teorema di Vitali-Lebesgue.

La funzione è integrabile: quanto vale poi, è tutto un altro paio di maniche

chiedo venia. in effetti mediante int impropria si possono integrare anche f generalmente continue su un dato intervallo.