Convergenza uniforme

Messaggioda coniglio2014 » 30/01/2015, 20:57

Salve, mi trovo in difficoltà con questa successione di funzioni:

$ y_n(x) = x^n(x+1/n) $

Allora... Ho trovato l'insieme di definizione tramite il limite:

$ lim_(n -> oo ) x^(n+1) + x^n/n = { ( +oo: se x>1) ,( 1: se x=+-1 ),( 0:se -1<x<1 ),( -oo: se x<1 ):} $

e risulta essere:
$ D={x in R: -1<=x<=1} $
Quindi, convergenza puntuale: $ y_n $ converge alla funzione $ y(x) = { ( 1rarr x=+-1 ),( 0 rarr -1<x<1):} $

(Le frecce stanno per "se")

Per la convergenza uniforme? :?: Non ci sto capendo niente. Penso di aver fatto già un macello fin qui.
Che qualcuno mi aiuti per favore... Grazie
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Re: Convergenza uniforme

Messaggioda Plepp » 30/01/2015, 21:49

La successione non ha limite per $x<-1$ e $x=-1$ (oscilla tra valori negativi e positivi, sempre più grandi in modulo se $x\ne -1$).

La convergenza puntuale non può esserci per $x\in (-1,1]$ perché la funzione limite è discontinua. Invece hai
\[\sup_{x\in(-a,a)}|x^n(x+1/n)|=a^n(a+1/n)\to
\begin{cases}
0&\text{se}\ 0<a<1\\
1&\text{se}\ a=1
\end{cases}
\]
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Re: Convergenza uniforme

Messaggioda coniglio2014 » 30/01/2015, 22:02

Ok, per i primi due righi ci sono. Poi non ho ben capito... dimmi se è così:
non ho convergenza puntuale in tutto l'insieme di definizione perché la funzione è discontinua in (-1,1].
Ma se restringo l'intervallo a (0,1) ho convergenza puntuale ed anche uniforme.
Ma perché non in [0,1) ?
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Re: Convergenza uniforme

Messaggioda Plepp » 30/01/2015, 22:39

La tua è una successioni di funizioni continue su $(-1,1]$ e su questo intervallo converge puntualmente a una funzione discontinua. Se una successione di funzioni continue coverge uniformemente, la funzione limite è continua. Ne deduci che non puoi avere convergenza uniforme.

Nemmeno su $(-1,1)$ c'è convergenza uniforme, come ti ho mostrato applicando la definizione.

Il problema te lo causano i punti $x=\pm 1$: se ti ci allontani un po', per esempio restringendoti a qualsiasi sottoitervallo del tipo $(-a,a)$, hai convergenza uniforme.
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Re: Convergenza uniforme

Messaggioda coniglio2014 » 30/01/2015, 22:49

Grazie mille. Sei stato chiarissimo!!!
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