Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito

Messaggioda gugione » 01/02/2015, 21:32

Ciao,

Devo determinare il miglior sviluppo asintotico per x che tende a + infinito dell'espressione
$sqrt(x^4 - 2x^3 + x^2 + O(x))$
Cosa significa esattamente MIGLIOR SVILUPPO ASINTOTICO? A che ordine mi dovrei fermare? :roll:
Ho raccolto il termine dominante $x^4$ che ho provveduto a "portare fuori dalla radice
$|x^2|sqrt(1 - 2/x + 1/x^2 + O(1/x^3))$
Tolgo il modulo in quanto x tende a + infinito
$x^2sqrt(1 - 2/x + 1/x^2 + O(1/x^3))$
Ora voglio passare dall'avere x che tende a + infinito a $t --> 0$ cosi da poter (eventualmente) usare gli sviluppi di Taylor. Effettuo una sostituzione $t = 1/x$ che tende a zero per x che tende a + infinito
---> ottengo anche che $x = 1/t$
sostituisco tutto nell'espressione di partenza:
$1/t^2 sqrt(1 - 2t + t^2 + O(t^3))$
ora? Devo portare fuori O grande? Come mi devo comportare cosi da riuscire ad applicare Taylor?
NB. So che (1 -2t + t^2) = (1- t)^2 --->> ma questo non mi aiuta a ricondurmi a qualcosa di notevole...

Grazie e buona serata :smt023
gugione
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Re: Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito

Messaggioda HaldoSax » 02/02/2015, 21:44

Il miglior sviluppo asintotico non l'ho mai sentito, per quanto riguarda la radice la riscrivo mettendo in evidenza gli o-piccoli

\begin{equation}
\sqrt{1+(-2t+t^2+O(t^3))}
\end{equation}

Utilizzi lo sviluppo di taylor della radice, che ti riporto

\begin{equation}
\sqrt{1+\varepsilon_n}=1+\frac{1}{2}\varepsilon_n-\frac{1}{8}(\varepsilon_n)^2+\frac{1}{16}(\varepsilon_n)^3-\frac{5}{128}(\varepsilon_n)^4+o((\varepsilon_n)^4)
\end{equation}

nel tuo caso $\varepsilon_n=-2t+t^2+O(t^3)$

quindi.............
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Re: Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito

Messaggioda gugione » 03/02/2015, 12:05

Ciao,

Grazie per la tua risposta :D
Ho svolto quanto detto da te:

$sqrt(1+(-2t+t^2 + o(t^3))) = 1+1/2(-2t+t^2+o(t^3)) -1/8(-2t +t^2+o(t^3))^2 + 1/16(-2t +t^2 + o(t^3))^3 -5/128(....)^4$

non ti nascondo che potrei essermi perso nei conti... :(
$1+1/2t^2 - t + o(t^3) -1/8(4t^2 + t^4 + o(t^6) - 4t^3 + o(t^6) -4t^3 + o(t^4) + 2t^5) + 1/16(-8 t^3 + t^6 + o(t^9))+ ...$

ho commesso un "peccato", non ho calcolato il polinomio al grado 4 in quanto mi stavo confondendo mica male :cry:
$1 + 1/2t^2 - t + o(t^3) - 1/2t^2 - 1/8t^4 + 1/2 t^3 + o(t^4) - 1/2t^3 + o(t^6) - 1/4t^5 -1/2t^3 + 1/16 t^6$

ora moltiplico tutto per $1/t^2$ e faccio qualche semplificazione

$1/t^2 [1-t + o(t^3) - 1/8t^4 + o(t^4) + o(t^6) - 1/4t^5 - 1/2t^3 + 1/16 t^6]$
$1/t^2 - 1/t + o(t^2) -1/8t^2 + o(t) + o(t^4) - 1/4 t^3 - 1/2 t + 1/16t^4$

Ora? Io ho pensato: posto che $t -> 0$ devo prendere l'o - piccolo di grado minimo...giusto? Ma in teoria poi dovrei passare anche all'O - grande... Quindi considerando o(t) l'elemento di grado minimo, prendo tutti li altri elementi di grado uguale, poi passo da o-piccolo a O-grande ottenendo $O (t^2)$. É giusto il mio ragionamento?

In questo caso
$-1/t - 1/2t + o(t)$

che diventa $-1/t -1/2t + O(t^2)$ a questo punto passo poi a x sapendo che $x =1/t)$

Cosa ne dici?
Grazie
gugione
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Re: Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito

Messaggioda HaldoSax » 03/02/2015, 18:10

Innanzitutto occhio al quadrato del trinomio, quando le cose sono complicate semplificati la vita il più possibile, il trinomio lo penso così:

\begin{equation}
[t^2+(-2t+3)]^2=[t^4+(-2t+3)^2+2t^2(-2t+3)]
\end{equation}

una volta svolti i conti, ricordati che $3$ è $O(t^3)$

Per quanto riguarda l'utilizzo di o piccolo e O grande ti consiglio di guardarti questo video

https://www.youtube.com/watch?v=RbIefDn0wkE.

Seconda cosa, attenzione che sotto radice hai un O grande e non o piccolo, se ho fatto i conti giusti dovresti ottenere:

\begin{equation}
[t^2+(-2t+O(t^3))]^2=t^4-4t^3+4t^2-4t+O(t^6)+O(t^5)=t^4-4t^3+4t^2-4t+O(t^5)
\end{equation}

Al second'ordine va bene, altrimenti i conti diventano troppo assurdi, il polinomio (P(t)) in t va bene, con le dovute correzioni e alla fine dovresti ottenere:

\begin{equation}
P(t)+O(t^3)+o(1)=P(t)+O(t^3)
\end{equation}

Se hai qualche dubbio chiedi pure :-D :-D
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Re: Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito

Messaggioda gugione » 04/02/2015, 09:57

Ciao, scusa se ti rispondo solo ora, ma prima di scriverti ho voluto rifare l'esercizio seguendo le tue indicazioni :D
Innanzitutto ottima la semplificazione del binomio...mi ha aiutato molto!!
$[t^2 + (- 2t + O(t^3))]^2 = [t^4 + (- 2t + O(t^3))^2 + 2t^2(-2t + O(t^3)) =$
$t^4 + 4t^2 + O(t^6) - 4tO(t^3) - 4t^3 + O(t^5)$
tu hai scritto: -4t che secondo me è un errore...XD
ho proseguito sulla mia strada mantenendo per buoni i miei conti (speriamo siano giusti :-D )
$t^4 + 4t^2 + O(t^6) + O(t^4) - 4t^3 + O(t^5)$
Ho considerato l'O-grande di grado minore (avendo $t -> 0$) ottenendo: $t^4 + 4t^2 + O(t^4) - 4t^3$

A questo punto riconsidero il tutto:
$1/t^2 [1 + 1/2 t^2 - t + O(t^3) - 1/8 (t^4 + 4t^2 + O(t^4) - 4t^3)$
$1/t^2 + 1/2 - 1/t + O(t) - 1/8 t^2 - 1/2 + O(t^2) - 4t$
Effettuo alcune semplificazioni e mantengo solo l'O-grande di grado inferiore (e quindi gli elementi devono avere grado minore di quest'ultimo)
$1/t^2 - 1/t + O(t)$
riporto in x ottenendo: $x^2 - x + O(1/x)$
Cosa ne pensi?
Grazie per la tua disponibilità :smt023
gugione
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Re: Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito

Messaggioda HaldoSax » 04/02/2015, 16:12

Sembrerebbe giusto, e spero che lo sia :-D
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Re: Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito

Messaggioda gugione » 05/02/2015, 09:20

ahahahah ottimo!! Grazie mille per la tua spiegazione!!
Alla prossima :smt023
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