$ f(x,y)= { ( (|x|^(3/2)y)/(x^2+|y|)^(7/4)) ,( 0 ):} $ rispettivamente per $ (x,y)!=0 $ e per $ (x,y)=0 $.
Esercizio classico...Studiare continuità, derivabilità,differenziabilità in (0,0).
Continuità: passo in coordinate polari e ottengo $ (rho^(3/4)|costheta|sintheta)/(rhocostheta+|sintheta|)^(7/4) $
Ora ho 2 possibilità:
$ sintheta!=0 rarr 0/(0+|sintheta|) = 0 $
$ sintheta=0rarr theta =0 $ oppure $ theta =pi $ cioè (in cartesiane) $ y=0 $
per cui ottengo $ lim_((x,y) -> (x,0))(|x|^(3/2)y)/(x^2+|y|)^(7/4)=0/x^(7/2)=0 $
Derivabilità: applico la definizione ed ho $ f_x=(|h|^(3/2) * 0)/h^(9/2)=0 $ e $ f_y=0/(k*|k|^(7/4))=0 $
Differenziabilità: applico la definizione e ottengo $ lim_((h,k) -> (0,0))(|h|^(3/2)*k)/((h^2+|k|)^(7/4)*sqrt(h^2+k^2)) $
Ora passo in coordinate polari e ottengo $ (|costheta|^(3/2) * sintheta)/(rho^(1/4)*(rhocostheta+|sintheta|)^(7/4) $
E ora che faccio???
Il denominatore è sempre nullo e quindi f non è differenziabile?