Determinare massimi e minimi relativi data questa derivata prima

[Izzo]

Salve, ho questa funzione: $ f(x) = x sqrt(x^2 +2) + 9 arccos (1/(x^2 +1)) $.
Facendo la derivata prima mi trovo:
$ f'(x)= sqrt(x^2 +2) + (x^2)/(sqrt(x^2 +2)) + (18x)/( sqrt (1 - (1/ (x^2 +1))^2) (x^2 +1)^2 $.
So che per trovarmi i massimi e minimi relativi devo imporre $f'(x) > 0 $.
In questo caso però dovrei fare il minimo comune multiplo ed è complicatissimo risolvere tutti i calcoli. Suggerimenti?

[Rigel]

In realtà i conti non sono molto complicati, basta semplificare la radice nel terzo addendo.
Escludi subito il caso \(x> 0\), per il quale hai \(f'(x) > 0\).
Per \(x < 0\), fatte le dovute semplificazioni, ti rimane da studiare il segno di \((1+x^2)^2 - 1\).

[fhabbio]

riguarda quella derivata dell'arcocoseno, ti consiglio di non essere precipitoso

poni

$t=(x^2+1)^-1$

allora avrai che la derivata vale

$(9*t')/(-sqrt(1-t^2))$

è un esercizio rognoso...ma qualcuno lo dovrà pur fare...

[Izzo]

Chiaro Rigel, ma non ho capito soltanto perchè anzichè di imporre $x>0 $ devo imporlo minore di 0

[Rigel]

Per \(x> 0\) vedi subito, anche nella forma non semplificata, che \(f'(x)\) è positiva, visto che è somma di quantità non negative (delle quali la prima strettamente positiva).

[Izzo]

Per \(x\geq 0\) vedi subito, anche nella forma non semplificata, che \(f'(x)\) è positiva, visto che è somma di quantità non negative (delle quali la prima strettamente positiva).

Quindi se per x>0 mi trovo che la funzione è sempre positiva, e quindi non ci sono punti di minimo e massimo relativi,devo imporre x<0 in tutta la funzione derivata?

[Rigel]

Non devi "imporre" niente.
Tu devi studiare il segno della derivata prima, in modo tale da poter applicare il criterio di monotonia negli intervalli dove la derivata ha segno costante.

Per \(x> 0\) la derivata prima è positiva (e lo vedi a occhio), quindi il segno lo sai; non ci sono ulteriori calcoli da fare.

Per \(x < 0\) la situazione invece non è chiara a priori; ti tocca quindi fare un po' di conti.
Per quanto detto, nel fare questi conti puoi assumere che \(x\) sia negativo.

[Izzo]

Non devi "imporre" niente.
Tu devi studiare il segno della derivata prima, in modo tale da poter applicare il criterio di monotonia negli intervalli dove la derivata ha segno costante.

Ho capito, grazie. Ultima domanda. Ovviamente abbiamo fatto questo perchè $ f'(x) > 0 $ era sempre verificato, se no non dovevamo "studiare " per x<0, giusto?

[Rigel]

Ultima domanda. Ovviamente abbiamo fatto questo perchè $ f'(x) > 0 $ era sempre verificato, se no non dovevamo "studiare " per x<0, giusto?

Non ho capito la domanda.
Facciamola facile. La funzione è derivabile per \(x\neq 0\) e la sua derivata, una volta fatte le semplificazioni, vale
\[
f'(x) = 2\, \frac{|x|(1+x^2)^2+x}{|x|(1+x^2)\sqrt{2+x^2}}\,.
\]
Il denominatore è positivo; il segno di \(f'\) è dato dunque dal segno del numeratore.