f(x,y) é differenziabile?

[coniglio2014]

$ f(x,y)= { ( (|x|^(3/2)y)/(x^2+|y|)^(7/4)) ,( 0 ):} $ rispettivamente per $ (x,y)!=0 $ e per $ (x,y)=0 $.

Esercizio classico...Studiare continuità, derivabilità,differenziabilità in (0,0).

Continuità: passo in coordinate polari e ottengo $ (rho^(3/4)|costheta|sintheta)/(rhocostheta+|sintheta|)^(7/4) $

Ora ho 2 possibilità:
$ sintheta!=0 rarr 0/(0+|sintheta|) = 0 $
$ sintheta=0rarr theta =0 $ oppure $ theta =pi $ cioè (in cartesiane) $ y=0 $
per cui ottengo $ lim_((x,y) -> (x,0))(|x|^(3/2)y)/(x^2+|y|)^(7/4)=0/x^(7/2)=0 $

Derivabilità: applico la definizione ed ho $ f_x=(|h|^(3/2) * 0)/h^(9/2)=0 $ e $ f_y=0/(k*|k|^(7/4))=0 $

Differenziabilità: applico la definizione e ottengo $ lim_((h,k) -> (0,0))(|h|^(3/2)*k)/((h^2+|k|)^(7/4)*sqrt(h^2+k^2)) $
Ora passo in coordinate polari e ottengo $ (|costheta|^(3/2) * sintheta)/(rho^(1/4)*(rhocostheta+|sintheta|)^(7/4) $
E ora che faccio???
Il denominatore è sempre nullo e quindi f non è differenziabile?

[Brancaleone]

$ f(x,y)= { ( (|x|^(3/2)y)/(x^2+|y|)^(7/4)) ,( 0 ):} $ rispettivamente per $ (x,y)!=0 $ e per $ (x,y)=0 $.

Esercizio classico...Studiare continuità, derivabilità,differenziabilità in (0,0).

Continuità: passo in coordinate polari e ottengo $ (rho^(3/4)|costheta|sintheta)/(rhocostheta+|sintheta|)^(7/4) $

C'è qualcosa che non va...

\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{{\left| x \right|}^{\frac{3}{2}}}y}}{{{{\left( {{x^2} + \left| y \right|} \right)}^{\frac{7}{4}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to {0^ + }} \frac{{\left| {{\rho ^{\frac{3}{2}}}{{\cos }^{\frac{3}{2}}}\theta } \right|\rho \sin \theta }}{{{{\left( {{\rho ^2}{{\cos }^2}\theta + \left| {\rho \sin \theta } \right|} \right)}^{\frac{7}{4}}}}} = \frac{{{\rho ^{\frac{5}{2}}}\left| {{{\cos }^{\frac{3}{2}}}\theta } \right|\sin \theta }}{{{{\left[ {\rho \left( {\rho {{\cos }^2}\theta + \left| {\sin \theta } \right|} \right)} \right]}^{\frac{7}{4}}}}} = \frac{{{\rho ^{\frac{3}{4}}}\left| {{{\cos }^{\frac{3}{2}}}\theta } \right|\sin \theta }}{{{{\left( {\rho {{\cos }^2}\theta + \left| {\sin \theta } \right|} \right)}^{\frac{7}{4}}}}}\]

[Frink]

Ora ho 2 possibilità:
$ sintheta!=0 rarr 0/(0+|sintheta|) = 0 $
$ sintheta=0rarr theta =0 $ oppure $ theta =pi $ cioè (in cartesiane) $ y=0 $
per cui ottengo $ lim_((x,y) -> (x,0))(|x|^(3/2)y)/(x^2+|y|)^(7/4)=0/x^(7/2)=0 $

Scusate l'intromissione, vorrei solo far notare che in coordinate polari il limite esiste se e solo se il limite tende a $l$ (qui $0$) uniformemente rispetto a $\theta$, mentre qui la convergenza è solo puntuale.

[coniglio2014]

Si, mi ero perso gli esponenti. Ma quindi la funzione non è continua? Non ci sto capendo niente. Mi spiegate con calma la situazione che si presenta?

[coniglio2014]

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