Studio di funzione con valore assoluto sotto radice quadrata

[dc_gem]

Ciao a tutti...mi trovo a scrivere questa richiesta di aiuto perchè nonostante abbia fatto mille prove sto avendo difficoltà a capire la soluzione del prof a quest'esercizio. E ho paura che debba chiarirmi alcuni punti che prima pensavo fossero chiari.

L'esercizio è studiare la funzione:

$\sqrt\|x^2 -3x\| -x$

se fosse possibile vi sarei grato se mi mostraste un possibile svolgimento perchè se lo scrivo io vado in tilt...inoltre ancora non so usare bene latex.

Ho incontrato vari punti interrogativi durante questo esercizio ma ora sono andato in tilt nello studio del segno della derivata seconda e la monotonia che non mi esce come da soluzione. Anche il limite dovrebbe venirmi - infinito e invece mi esce un numero.

Vi ringrazio anticipatamente

[fhabbio]

se non ci dici più nello specifico dove hai difficoltà non possiamo aiutarti... spiega dove ti blocchi...

ti ricordo di studiare in ordine

dominio
possibili simmetrie
gli zeri (non per forza devi trovarli, ti basta sapere che ci sono...teorema degli zeri!)
dove la funzione è positiva e negativa
derivata
massimi e minimi della funzione
e infine concavità

forse dimentico qualcosa ma ora sto pensando a cosa mangiare per cena xD

[dc_gem]

Veramente avevo anche detto dove mi blocco...ma se fosse possibile vorrei vedere un approccio all'esercizio fatto per bene dall'inizio alla fine...

[gio73]

ciao dc_gem

benvenuto sul forum
ti riporto uno stralcio del regolamento

1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.

Anyway modo cominciamo con il dominio, come ti ha indicato fabio,

visto che sotto radice abbiamo il valore assoluto direi che non dobbiamo escludere niente, quindi va bene tutto $RR$, sei d'accordo?

[fhabbio]

Non per fare polemiche ma guarda che si vede che hai modificato il messaggio alle 20:51. Non avevi scritto dove ti bloccavi...non scherziamo dai...

sono uno studente come te e quando posso cerco di dare una mano nei limiti delle mie competenze a chi ne ha bisogno, ed è per questo che amo questo forum perchè si cerca di aiutare sempre chi ha bisogno e non chi non ha voglia.

Ma affinchè nessuno possa pensare che io ce l'abbia con te, ti do il mio consiglio per questo problema specifico.

Prova a considerare

$f(x)=\{(sqrt(x^2-3x)-x -> x<0 ^^ x>3),(sqrt(-(x^2-3x))-x -> 0<x<3):}$

se non ho sbagliato i calcoli la derivata seconda per la funzione di sopra mi viene

$1/2*[2*(x^2-3x)^(-1/2)-1/2*(2x-3)(x^2-3x)^(-3/2)]$

per il calcolo del segno io raccoglierei a fattore comune $(x^2-3x)^(-1/2)$

è un po' prolisso come esercizio, ma personalmente non vedo altre vie d'uscita... vediamo cosa dicono i veterani

[dc_gem]

allora...

gio73... grazie per il benvenuto...comunque se vuoi posso scansionare il casino sul mio quaderno...vi giuro che non sono qui per perdere tempo o farlo perdere...per passare analisi non mi servirebbe leggere una soluzione...quindi vorrei ti fidassi quando dico che lo studio ho provato a farlo...anche perchè se vedi ho scritto che sono arrivato al limite della derivata...per il dominio sono d'accordo...e aggiungo che la funzione non ha simmetrie...

fhabbio...nemmeno io voglio fare polemiche...ma ti dico che la modifica che vedi l'ho fatta dopo il tuo messaggio ma ho aggiunto solo "Anche il limite dovrebbe venirmi - infinito e invece mi esce un numero." Il resto lo avevo scritto prima del tuo messaggio che si vede che non hai visto ma fa nulla...

detto ciò...si anche io ho scomposto la funzione a causa del valore assoluto quando sono andato a studiarne il segno...e poi ho proceduto con gli step successivi con f1 e f2...

per la derivata si mi esce uguale più o meno...anche se mi pare ci sia un 1/2 di troppo al secondo membro...e non capisco perchè c'è x^2-3x alla -3/2...ma forse sbaglio io qualcosa...O_O...anzi sicuramente siccome sono io in tilt...

poi non ho capito perchè hai invertito il segno...io lo facevo dopo quando studiavo numeratore e denominatore nello studio del segno della derivata...ma vabbè...questione di scelte anche se mi domando cosa succede poi nello studio del segno della derivata? perchè cambia tutto quando poi bisognerà cambiare il segno della disequazione...

ma ripeto l'esercizio l'ho fatto...ma vorrei vedere un approccio dall'inizio alla fine per vedere una strada da seguire e un ragionamento dall'inizio...se c'è qualcuno che ha voglia di farlo...

edit: scusate ragazzi ma le notifiche a questa discussione da dove si attivano? Ho cercato in pannello di controllo ma non ho visto una voce "notifiche"

[dc_gem]

Nessuno che può darmi una mano?:(

[vict85]

Il valore assoluto ha derivata \(\displaystyle \frac{x}{\lvert x \rvert} = \mathrm{sgn}(x) \) pertanto il tutto è legato ad una questione di funzioni composte.

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\biggl[ \sqrt{\lvert x^2 - 3 x \rvert} - x\biggr] = \frac{\mathrm{sgn}(x^2-3x) (2x -3)}{2\sqrt{\lvert x^2 - 3 x \rvert}}-1 \)

La funzione \(\displaystyle \mathrm{sgn}(x) \) è la funzione segno, che è discontinua. Quindi devi tenerne conto per la derivata seconda.

[dc_gem]

io la funzione l'ho "sdoppiata" e quindi poi derivo due funzioni a seconda dei valori di definizione...la derivata che mi viene comunque non è quella...

sdoppiando la funzione ho:

$f1 = sqrt(x^2 -3x)-x$
$f2 = sqrt(3x-x^2)-x$

la derivata di f1 a me viene (e anche sulle soluzioni) : $(2x-3)/(2sqrt(x^2-3x))-1$

che poi con in minimo comune divisore diventa:

$((2x-3)-2sqrt(x^2-3x))/(2sqrt(x^2-3x))$

ora dovrei studiarne in segno...quindi procedo prima col numeratore e poi col denominatore...

a me il numeratore esce sempre positivo...dove sbaglio?

[vict85]

Quella è esattamente la mia derivata, Infatti \(\displaystyle\mathrm{sgn}(x^2-3x) = \begin{cases} 1 & \text{ per } x < 0\vee x > 3 \\ -1 & \text{ per } 0 < x < 3 \end{cases}\).


[edit] avevo fatto un piccolo errore nelle condizioni. Ora le ho messe più comprensibili.