Frink ha scritto:(...) non si può calcolare quell'integrale, non senza far ricorso alla proprietà del titolo (...)
Appunto, ma la proprietà c'è ed è ben definita, dove sta il problema?
Frink ha scritto:lo rende adatto all'insegnamento nelle scuole superiori
Su questo non ho niente da dire, infatti ho parlato di università.
Frink ha scritto:non ha bisogno di un background di Teoria di Misura così ampio e profondo
Per parlare d'integrazione non serve questa gran mole di teoria della misura, sono sufficienti le basi. Il tempo risparmiato al primo anno non facendo l'integrazione di Riemann lo si potrebbe spendere proprio per trattare dette basi.
Frink ha scritto:tutti coloro che la matematica la toccano solo superficialmente e all'integrale di Riemann si fermano.
Tipo? (Non è una domanda sarcastica.) Per quel che so qualsiasi applicazione scientifica o ingegneristica prima o poi si trova a dover sguazzare in \(L^2\) o quantomeno a dover trattare l'integrazione multipla (che richiede comunque conoscenze di teoria della misura). Tanto vale spiegare nelle ingegnerie l'integrale di Riemann in termini di funzioni semplici rispetto alla misura Peano-Jordan fin dall'inizio e fare direttamente l'integrazione secondo Lebesgue negli altri corsi scientifici. Cos'è che non torna nel mio ragionamento?
Frink ha scritto:La pretesa di partire da Lebesgue sarebbe come chiedere di insegnare l'algebra del primo anno d'università al posto dell'algebra di base, perché più generale: è sicuramente vero, ma un ragazzo delle medie come potrebbe coglierne le sfumature necessarie a interiorizzare la materia?
A parte che non ho parlato di partire da Lebesgue, se davvero c'è qualcuno a cui non serve si potrebbe fare solo Riemann, ma almeno farlo come si deve (cioè considerandolo l'integrale associato alla misura di Peano-Jordan), sinceramente non vedo dove stia il problema nel partire da Lebesgue, non mi risulta che la teoria classica dell'integrazione di Riemann sia in un qualsiasi modo propedeutica allo studio della teoria della misura. Lo studio sulla ricerca delle primitive (gli "integrali indefiniti") lo si può cominciare molto prima senza collegarlo da subito al calcolo degli integrali (o magari enunciando il teorema fondamentale del calcolo e rimandando la dimostrazione al secondo anno), e quella è la parte manuale, ma la parte teorica dell'integrazione di Riemann resta, dal mio punto di vista, completamente inutile.
vict85 ha scritto:La proprietà non sparisce, è solo che ha poco senso quando lavori su spazi più generici. In termini più generici, equivale a dire che se fai cambi di variabile che cambiano l'orientamento allora cambia anche il segno dell'integrale di ogni funzione.
Hai ragione, la mia affermazione non era del tutto esatta. Comunque "ha poco senso" al punto che non mi pare se ne faccia mai uso in qualche dimostrazione, da un punto di vista teorico se una funzione è misurabile hai sempre tutto quello che ti serve "senza dover spostare nulla". Concordo sul fatto che
vict85 ha scritto:È comunque poco più che una scelta di notazione, di fatto già inclusa nelle altre proprietà dell'integrale.
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)
«(...) per consegnare alla morte una goccia di splendore,
di umanità,
di verità...»