Volume negativo

[coniglio2014]

$ E= {(x,y,z)inR^3:z<=-(x^2+y^2)+9, z>=2x+2y+3} $

Calcolare volume e coordinate $ x_B $ e $ y_B $ del baricentro di E.

Innanzitutto si tratta di un paraboloide capovolto, con vertice in (0,0,9), che viene tagliato da un piano obliquo.
Comunque ho trovato l'intersezione (per z<0) tra retta e parabola nel piano xz , e ho ragionato così:mi pongo al di sotto del piano base, precisamente sul piano parallelo a xy e passante nel punto di intersezione.
Ora, il raggio del mio "nuovo piano base" è la distanza (presa positiva) del punto di intersezione dall'origine
Per capirci meglio...

Mi metto sulla quota della linea verde, mi faccio un bel giro lungo tutta la circonferenza di raggio $ rho = 1+sqrt(7) $ e lancio linee in alto per calcolare il volume che vanno da/a $ 2x+3<=z<=9-x^2 $
Quindi costruisco il mio integralein coordinate cilindriche:
$ int int int_(E)1 dx dy dz = int_(0)^(1+sqrt(7) ) rho drho int_(0)^(2pi)dvartheta int_(2rho+3)^(9-rho^2) dz $
$ = = 2piint_(0)^(1+sqrt(7) ) rho(-rho^2-2rho+6) drho = NEGATIVO $

Dove sbaglio? Ho impostato male l'integrale in coordinate cilindriche?

[gordnbrn]

Solo per dirti che, quando l'insieme è assegnato in quel modo, non è necessario aiutarsi con una rappresentazione grafica. In questo caso avresti potuto tranquillamente procedere così:

$A={(x,y)inR^2:2x+2y+3<=-x^2-y^2+9}$

$A={(x,y)inR^2:(x+1)^2+(y+1)^2<=8}$

$intint_(A)dxdy[8-(x+1)^2-(y+1)^2]=int_(0)^(2sqrt2)d\rhoint_(0)^(2pi)d\thetarho(8-rho^2)$

Tra l'altro, in questa forma e nel rispetto degli estremi di integrazione, l'integrando appare banalmente positivo. Sempre che i passaggi ti siano chiari.

[coniglio2014]

Non ho capito perché hai messo quella roba dentro all'integrale... Mi hai fatto sparire la z... è una roba che non ho mai visto... Ma mi piace l'approccio. Solo vorrei capirlo bene.

[gordnbrn]

Quando l'insieme è definito come:

$f(x,y)<=z<=g(x,y)$

a patto di considerare:

$A={(x,y)inR^2:f(x,y)<=g(x,y)}$

perchè altrimenti l'insieme degli z sarebbe vuoto, puoi procedere così:

$intint_(A)dxdyint_(f(x,y))^(g(x,y))dz=intint_(A)dxdy[g(x,y)-f(x,y)]$

[coniglio2014]

Fenomeno! Grazie. Ora è chiaro!
Solo una cosa...hai scritto
$ intint_(A)dxdy[8-(x+1)^2-(y+1)^2]=int_(0)^(2sqrt2)d\rhoint_(0)^(2pi)d\thetarho(8-rho^2) $

Sicuro che non viene $ intint_(A)dxdy[8-(x+1)^2-(y+1)^2]= int_(0)^(2sqrt2)d\rhoint_(0)^(2pi)d\thetarho(6-rho^2-2rhocostheta -2rhosintheta) $ ?
Non ho controllato la positività del risultato. Lo farò domani. Comunque grazie per la dritta!

[gordnbrn]

Meglio se utilizzi questo cambiamento di variabili:

$x+1=\rhocos\theta ^^ y+1=\rhosin\theta$

Lo Jacobiano è lo stesso.