integrali impropri e integrazione per parti

[jitter]

Se un integrale improprio fatto così $ int_(a)^(b) f'(x)g(x) dx $ lo integro per parti (o meglio integro il corrispondente integrale indefinito) $ int f'(x)g(x) dx = g(x)f(x)- int f(x)g'(x) dx $ , allora anche $ int_(a)^(b) f(x)g'(x) dx $ è certamente improprio?

Grazie e buona domenica

[Frink]

Ciao, provo a rispondere io.

Direi che in generale è falso. Infatti, sia $f(x)$ una funzione derivabile con derivata non continua in $x_0 \in [a,b]$, avremo che il primo integrale è improprio, mentre il secondo non lo è necessariamente.

Esempio pratico, per capirci meglio:
\[
\int_{-1}^2 \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\cos(x)dx
\]

Questo è un integrale improprio, perché presenta una discontinuità in $x_0=0$

Integrando per parti avremo

\[
\int_{-1}^2 \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\cos(x)dx= (\sqrt[3]{x}\cos(x)) |_{-1}^2 - \int_{-1}^2 \sqrt[3]{x}\sin(x)dx
\]

che non presenta punti di discontinuità, quindi è integrabile in senso usuale secondo Riemann. Questo controesempio dovrebbe contraddire la tua tesi.

Questi trucchi però conservano il carattere dell'integrale improprio, ossia:

1. Se l'integrale improprio diverge, integrando per parti otterrai un altro integrale improprio divergente.

2. Se l'integrale converge, puoi trovare o un altro integrale improprio convergente, o un integrale "proprio" à la Riemann.

Spero di non aver scritto cavolate. Ciao!

[jitter]

Grazie Frink, gentilissimo

\[
\int_{-1}^2 \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\cos(x)dx= (\sqrt[3]{x}\cos(x)) |_{-1}^2 - \int_{-1}^2 \sqrt[3]{x}\sin(x)dx
\]

che non presenta punti di discontinuità, quindi è integrabile in senso usuale secondo Riemann. Questo controesempio dovrebbe contraddire la tua tesi.

Allora questa è una buona notizia perché, in alcuni casi, se non riesco a studiare la convergenza di un integrale improprio con i criteri del confronto e dell'equivalenza asintotica, potrei provare a integrarlo per parti, anche senza arrivare alle primitive, ma fino a ricondurlo a un integrale proprio, come nel tuo esempio. Non so se conviene, magari andrei a complicare inutilmente i calcoli, ma tentar non nuoce!

[Frink]

Sono sempre meno convinto di quello che ho scritto...
In ogni caso tieni sempre a mente la condizione di derivabilità di $f$ su tutto l'intervallo in questione, altrimenti non se ne fa nulla: potrebbe presentare anche lei un punto di discontinuità (forse basterebbe la continuità ma non ne sono certo).
Il mio dubbio sull'applicazione sorge nel momento in cui ti trovassi ad avere, al secondo membro, una funzione da valutare tra due estremi con una discontinuità strana, e.g. $1/x^2$ in $[-1,2]$. Questa cosa non è permessa, quindi grande attenzione nel valutare questo metodo di procedere.



Secondo me però è un buon modo di giungere ad un valore numerico una volta dimostrato che l'integrale improprio converge. Non pasticcerei troppo con quelli divergenti, tant'è che la frase

1. Se l'integrale improprio diverge, integrando per parti otterrai un altro integrale improprio divergente.

mi pare ora un po' infelice e molto probabilmente errata.



Poi senti un'altra campana, magari con un po' più di esperienza: se qualcuno passa di qua sarò ben lieto di ascoltare la sua versione, mi incuriosisce

[jitter]

ok, aspettiamo altri pareri, allora.

Se l'integrale improprio diverge, integrando per parti otterrai un altro integrale improprio divergente.

mi sembrava giusta questa affermazione ma non è che mi intenda molto... Però pensavo: se la tua affermazione fosse errata, ciò significherebbe che un integrale divergente (quello di partenza) potrebbe essere scritto come somma di una funzione (la $f'(x)g(x)$ (sicuramente "convergente") e di un integrale ancora convergente ($int f(x)g'(x)dx$), ma questo intuitivamente non mi torna (la somma di due integrali convergenti è convergente? perché no...)

La domanda iniziale l'ho riferita a un intervallo limitato [a, b]. Se avessi preso un estremo infinito, non so che succederebbe. In quel caso, forse, la frase n. 1 potrebbe non essere sempre vera?

[Frink]

Però pensavo: se la tua affermazione fosse errata, ciò significherebbe che un integrale divergente (quello di partenza) potrebbe essere scritto come somma di una funzione (la $f(x)g(x)$ (sicuramente "convergente") e di un integrale ancora convergente ($int f(x)g'(x)dx$), ma questo intuitivamente non mi torna (la somma di due integrali convergenti è convergente? perché no...)

E' quel sicuramente convergente che non mi piace. Se ad esempio fosse la $f'(x)=-\frac{3}{x^4}$, allora la $f(x)$ sarebbe $\frac{1}{x^3}$ su $[-1,2]$:
\[
\int_{-1}^2 -\frac{3}{x^4}\cos(x)dx=\Bigl(\frac{1}{x^3}cos(x)\Bigr)\Bigr|_{-1}^{2} - \int_{-1}^{2} \frac{1}{x^3}\sin(x)dx
\]
c'è una discontinuità in $0$ per cui credo non abbia senso scrivere questo integrale per parti e soprattutto valutare una funzione ($f$) discontinua in $0$ ai due estremi dell'intervallo (non so se mi sono spiegato, comunque meglio sentire un altro parere davvero, ho paura di incasinare solo le cose).

[jitter]

E' quel sicuramente convergente che non mi piace.

!

Hai ragione!

[dissonance]

Comunque per evitare dubbi uno di solito si scrive il limite e si fa i conti con quello. Voglio dire che uno scrive
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \int_a^{b-\varepsilon} f'(x)g(x)\, dx = \lim_{\varepsilon \to 0} \left.f(x)g(x)\right|_a^{b+\varepsilon} -\int_a^{b+\varepsilon} f(x)g'(x)\, dx
\]
(e variazioni sul tema nel caso in cui la singolarità sia in \(a\) oppure nel caso in cui \(b=\infty\) ecc...).

E così passa la paura.

[jitter]

Comunque per evitare dubbi uno di solito si scrive il limite e si fa i conti con quello

Caso per caso, dici? Allora vuol dire che in questo caso la generalizzazione non ha utilità... Meglio così!

[dissonance]

Si, dico caso per caso. Almeno, per quanto vedo io di solito si fa così.