Ciao, provo a rispondere io.
Direi che in generale è falso. Infatti, sia $f(x)$ una funzione derivabile con derivata non continua in $x_0 \in [a,b]$, avremo che il primo integrale è improprio, mentre il secondo non lo è necessariamente.
Esempio pratico, per capirci meglio:
\[
\int_{-1}^2 \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\cos(x)dx
\]
Questo è un integrale improprio, perché presenta una discontinuità in $x_0=0$
Integrando per parti avremo
\[
\int_{-1}^2 \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\cos(x)dx= (\sqrt[3]{x}\cos(x)) |_{-1}^2 - \int_{-1}^2 \sqrt[3]{x}\sin(x)dx
\]
che non presenta punti di discontinuità, quindi è integrabile in senso usuale secondo Riemann. Questo controesempio dovrebbe contraddire la tua tesi.
Questi trucchi però conservano il carattere dell'integrale improprio, ossia:
1. Se l'integrale improprio diverge, integrando per parti otterrai un altro integrale improprio divergente.
2. Se l'integrale converge, puoi trovare o un altro integrale improprio convergente, o un integrale "proprio" à la Riemann.
Spero di non aver scritto cavolate. Ciao!
- People think they understand quantum physics. They don't. Only I understand physics. Anyone who says otherwise, can go fuck themselves. - Richard Feynman