Polinomio

[gugione]

Ciao,

Sono alle prese con questo semplice esercizio (almeno in apparenza XD):

"determinare un polinomio P(x) a coefficienti reali che soddisfi P(i+1) = P(2) = 0"

Suggerimenti? Se prendo il polinomio $ P(x) = x^2 - 2i$ va bene?
Se faccio $P(i+1) = (i + 1)^2 - 2i = i^2 + 1 + 2i - 2i = 0 $ (considerando che $i^2 = -1$)
Ottengo lo stesso risultato di $P(2) = 0$, pertanto penso sia corretto
Che dite?
Grazie

[Brancaleone]

Se prendo il polinomio $ P(x) = x^2 - 2i$ va bene?

Eh no che non va bene
Lo vuoi a coefficienti reali, quel $-2i$ non deve comparire.
Pensa: si annulla per $x_0=2$, quindi il pezzo più semplice che puoi pensare che si annulli in quel punto è $(x-2)$.
Poi sai che si annulla per $x_1=i+1$, e come prima il più semplice che puoi pensare è $(x-i-1)$.

Se i coefficienti complessi fossero accettati ci fermeremmo qui, perché

$P_(CC)(x)=(x-2)(x-i-1)$

soddisferebbe sicuramente la consegna. Purtroppo non devono comparire termini complessi... e allora qual è il "trucchetto"?

Ottengo lo stesso risultato di $P(2) = 0$, pertanto penso sia corretto

Proprio no, con quel polinomio lì viene

$P(2)=4-2i qquad (ne 0)$

[gugione]

Ma scusa, non é corretto terminare l'esercizio a $P(x) = (x-2)(x-1-i)$? nel senso che io dovrei in teoria sempre avere almeno una $i$ cosi da riuscire a eliminare la $i$ nel caso del polinomio $P(i+1)$. o no?
Poi si, scusa...non avevo capito che in effetti $P(2)$ si riferisse allo stesso polinomio (sono sempre piu rimbambito XD)

[Brancaleone]

Ma scusa, non é corretto terminare l'esercizio a $P(x) = (x-2)(x-1-i)$? nel senso che io dovrei in teoria sempre avere almeno una $i$ cosi da riuscire a eliminare la $i$ nel caso del polinomio $P(i+1)$. o no?

Se fosse così la richiesta che il polinomio debba presentare solo coefficienti reali non avrebbe senso, no?
Per aiutarti a capire: l'equazione

$x^2+1=0$

non ha soluzioni nel campo reale, tuttavia le soluzioni $i$ e $-i$ del campo complesso la soddisfano, "anche se non appaiono scritte"... come fai dunque a nascondere quella $i$?

[gugione]

Sapendo che $i = sqrt(-1)$ posso scrivere il polinomio come $P(x) = (x-2)(x-1-sqrt(-1))$ é l'unica cosa che mi é venuta in mente, ma dovrebbe funzionare

[Brancaleone]

Ma no, $sqrt(-1)$ non si scrive mai - apposta usiamo $i$. Inoltre anche accettando quella scrittura non siamo ancora nel campo reale, dove la definizione di $i$ non ha senso. Conosci il teorema fondamentale dell'algebra? Quante radici ha il polinomio che stiamo cercando?

[gugione]

Lo conosco! 2 radici in quanto sto considerando un polinomio al quadrato

[Brancaleone]

...e chi ti ha detto che è un polinomio di secondo grado?
Hint: coniugato

[gugione]

Se considero $P(x) = (x-1)(x-1-i)$ mi sembra di secondo grado

[Brancaleone]

Ok, ma quello che stiamo cercando non lo è