vict85 ha scritto:La apertura non è necessaria per la connessione per cammini. Pensa per esempio ad un dominio stellato fatto da due segmenti che si intersecano nel loro punto medio.
vict85 ha scritto:(basta usare l'approssimazione di Hermite sui due estremi del triangolo).
Frink ha scritto:vict85 ha scritto:La apertura non è necessaria per la connessione per cammini. Pensa per esempio ad un dominio stellato fatto da due segmenti che si intersecano nel loro punto medio.
Ci mancherebbe, ma se $\Omega$ fosse solo connesso, non avremmo la certezza che è connesso per archi, equivalente a trovare il cammino $C^0$. L'apertuta è condizione sufficiente che direi che qui bisogna usare, o vedo male io?vict85 ha scritto:(basta usare l'approssimazione di Hermite sui due estremi del triangolo).
Cioè, l'idea sarebbe di usare Hermite su $\gamma(x_0-\delta)$ e $\gamma(x_0+\delta)$ come estremi? Ma poi, unendo il polinomio trovato con $\gamma$ potremmo avere un raccordo non liscio mi pare, a meno di non imporre una condizione sulla derivata prima (e.g. spline)
dissonance ha scritto:Si, ok, lui "tira via" su alcune questioni di interesse per i matematici ma non per le applicazioni. Per definizione un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^n \) si dice "connesso" se ogni coppia di punti si può congiungere con un cammino continuo. Risulta poi (e questo è un teorema) che in realtà il cammino si può prendere liscio. E quindi il tuo prof prende un cammino liscio perché altrimenti potrebbe avere problemi a differenziare $ f(\gamma(t)) $.
Sono dettagli tecnici questi, non molto importanti.
Plepp ha scritto:Se non vuoi fare questo discorso della curva che "diventa" $ C^1 $, puoi fare così.
Puoi ridimostrare il Teorema sostituendo $ \Omega $ con una sfera $ B_r(x) $ di centro e raggio qualsiasi. Lo fai senza cambiare niente nella dimostrazione precedente, con la differenza che ora, trovandoti in una sfera, puoi congiungere i varii punti con un segmento. Fatto ciò, ottieni (quasi) automaticamente che il Teorema è valido per un qualsiasi aperto che sia connesso.
Zodiac ha scritto:Ora ho capito, effettivamente, leggendo anche quello che avete scritto successivamente, mi sembra che siate entrati un po troppo nei dettagli per il corso di laurea di ingegneria informatica (alcuni dei teoremi che avete tirato fuori neanche li abbiamo fatti) quindi penso che sia giusto dover prendere "per giusto" il cammino di classe c1.
Zodiac ha scritto: Grazie mille anche a te, questa in effetti è un'altra dimostrazione che ho trovato su alcuni appunti più vecchi di una studentessa, ma sinceramente trovo la prima dimostrazione molto più "bella" e soprattutto rapida, perche con la dimostrazione che esponi tu, dovrei prima dimostrare il lemma per una sfera, e poi "riportare" il tutto in un aperto connesso nel quale possono essere costruite delle sfere infinitesimali e quindi il teorema è dimostrato.
vict85 ha scritto:Si, il fatto che sia aperto è una condizione sufficiente per l'uguaglianza tra i due concetti. Ovviamente non è necessaria.
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