una funzione strett monotona è iniettiva è invertibile

[martolina00]

Allora ragazzi per favore rispondetemi aiutatemi perchè qui sto diventando pazza .
devo parlare della funzione strett monotona secondo voi sto procedendo male se facciamo un discorso di questo genere
Parlo dicendo che una funzione si definisce monotona crescente strett monotona monotona decrescente dopo aver dato queste definizioni enuncio una proposizione quella che una funzione è strett monotona se e solo se è iniettiva con relativa dimostrazione..
Poi fatto questo discorso arrivo al mio problema non sto riuscendo a capire il teorema che afferma
una funzione è continua è iniettiva allora è strettamente monotona.
p.s. o sono scema o sono scema ma non ho capito ne quella del libro sbordone ne del libro salsa e internet non mi aiuta...pleaseeee rispondete

[fhabbio]

certo se scrivessi nello specifico contro cosa vai a cozzare, sarebbe più facile aiutarti.
In più personalmente, non capisco proprio al 100% cosa hai scritto. Esistono le virgole, accidenti! Scusa se sono stato così aspro eheh^^

[vict85]

Cosa non capisci di quella dimostrazione?

[martolina00]

Sia una funzione continua in un intervallo [a,b].Allora è iniettiva in [a,b] se e solo se f è strettamente monotona

IPOTESI: f continua e iniettiva TESI: f strettamente monotona

$rArr$
Dalla definizione segue immediatamente che una funzione strettamente monotona è iniettiva.


proviamo il viceversa. Si supponga per assurdo che $EE$ $x1,x2$ $in$ $[a,b]$ tali che $x1<x2$ $rArr$ $f(x1)$ $<=$ $f(x2)$
per cui f è monotona crescente ,e che
$EE$ $x3,x4$ $in$ $[a,b]$ tali che $x3<x4$ $rArr$ $f(x3)$ $>=$ $f(x4)$ per cui f è monotona decrescente.
Posto $a= min{x1,x3}$ e $b=max{x2,x4}$,
f non risuta nè strettamente crescente e nè strettamente decrescente in $[a,b]$.
poichè f è iniettiva allora $f(a)<f(b)$ e $f(a)>f(b)$.



Si supponga $f(a)<f(b)$ dove $f(a)=minimo$ e $f(b)=massimo$ :

per il teorema dei valori intermedi si ha che:
$AA$ $yo$ $in$ $(m,M)$ cioè $m<yo<M$ $EE$ $xo$ $in$ $[a,b]$ tale che $f(xo)=yo$ infatti:
considero una funzione ausiliaria e deduco che: g(x)=f(x)-yo $AA$ x $in$ $[a,b]$
DAto che f(a)=m<yo<M=f(b) risulterà che :
1. $g(x1)=f(a)-yo$ $=>$ $m-yo<0$;
2. $g(x2)=f(b)-yo$ $=>$ $M-yo>0$;
per cui dal teorema degli zeri abbiamo dedotto che $EE$ xo $in$ $(a,b)$ tale che $f(a)=yo$ e $f(b)=yo$ e quindi contro all iniettività della funzione.
quindi abbiamo dimostrato che f è strettamente crescente decrescente in [a,b] .
nello stesso modo si dimostra f(a)<f(b)



IO QUESTO HO CAPITO VEDETE UN Pò SE è GIUSTO O MENO