Buongiorno,
la serie in questione è la seguente:
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1+\tan(1/n)}{(n+1)^\alpha}$
Per ora considero $\alpha>1$
E' corretto dire che dato:
$\lim_{n\to\infty} (-1)^n \frac{1+\tan(1/n)}{(n+1)^\alpha} = 0$
e data l'assoluta convergenza, infatti:
$|(-1)^n \frac{1+\tan(1/n)}{(1+n)^\alpha}| = \frac{1+\tan(1/n)}{(1+n)^\alpha}$
$\sum_{0}^{\infty}\frac{1+\tan(1/n)}{(1+n)^\alpha}$ per confronto $\lim_{n\to\infty} \frac{1+tan(1/n)}{(1+n)^\alpha} \approx \lim_{n\to\infty}1/n^\alpha$ quindi la serie converge assolutamente perché $1/n^\alpha$ è armonica con $\alpha>1$
Allora la serie di partenza è convergente?