Considerato che {tn} ⊂ {sn}, allora se {sn} converge, di certo {tn} non potrà divergere a + ∞ .
Il punto e' che se la successione {s_n} converge, allora la sua sottosuccessione {t_n}
deve convergere allo stesso limite in virtu' del seguente teorema sulle successioni che non richiede che la successione sia a termini positivi o meno, non solo come dici tu "non potra' divergere a $ +oo $":
Th"Sia $ {a_n} $ una successione a valori in $ RR $. Condizione necessaria affinche' $ {a_n} $ converga a $ yinRR $ e' che ogni sottosuccessione converga a y."
In altre parole ancora se $ s_n $ converge e di qualunque segno siano i suoi valori, allora la sua sottosuccessione $ t_n $ converge allo stesso limite.
Cosi' se la serie iniziale $ sum_(n=0)^(+oo)a_n $ converge allora per definizione di convergenza di una serie la successione delle sue somme parziali converge e per il teorema citato converge pure la successione delle serie parziali della serie con i termini raggruppati della condizione, per intenderci $ a_0+[a_1+a_2]+[a_3+a_4+a_5]+[a_6+a_7+a_8+a_9]+... $, quindi ancora per definizione di convergenza di una serie anche $ a_0+[a_1+a_2]+[a_3+a_4+a_5]+[a_6+a_7+a_8+a_9]+... $ converge.
Cosi' la condizione e' necessaria ossia se la serie iniziale converge allora anche la serie della condizione converge.
Comunque permane qualche dubbio su "condizione necessaria e condizione sufficiente" .. saresti in grado di chiarirmi le idee con esempi semplici?
Ad esempio nel secondo quesito la condizione risulta sufficiente (e qui ci siamo) ma non necessaria. Perché?
Supponiamo di considerare la serie $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^(3/2) $. Questa converge mentre la serie $ sum_(n=1)^(+oo)sqrt(n)*1/n^(3/2)=sum_(n=1)^(+oo)1/n $ naturalmente no essendo la serie armonica.
In altri termini se una serie rispetta la condizione che $ sum_(n=1)^(+oo)sqrt(n)a_n $ converga allora converge per la dimostrazione del messaggio precedente, condizione sufficiente, ma ci sono tante altre serie che convergono, per esempio $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^(3/2) $, pur non rispettando la condizione che quindi non risulta essere necessaria.
D'altra parte la nota condizione che una serie converge se il suo termine generale $ a_nrarr0 $ per $ nrarr+oo $ e' necessaria, ossia se una serie converge allora vale tale condizione, o in altri termini tutte le serie convergenti verificano tale condizione, ma non e' sufficiente in quanto $ sum_(n=1)^(+oo)1/n $ la soddisfa ma non e' convergente essendo la serie armonica.