Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda salt21 » 26/02/2015, 18:50

Salve a tutti,
ho dei dubbi su due quesiti di analisi 1 relativi alla convergenza di una serie.
Mi spiego meglio; il primo quesito è il seguente:

Sia {a(n)} una successione di numeri reali.
la condizione "La serie a(0)+[a(1)+a(2)]+[a(3)+a(4)+a(5)]+[a(6)+a(7)+a(8)+a(9)]+... è convergente" è:
a) necessaria e sufficiente
b) necessaria ma non sufficiente
c) sufficiente ma non necessaria
d) né necessaria né sufficiente

affinché la serie di n che va da zero a infinito di {a(n)} sia convergente. (risposta corretta b))

Ecco il secondo quesito:

Sia {a(n)} una successione di numeri positivi. La condizione "La serie di n che va da zero a infinito di (radice di (n) * {a(n)}) è convergente" è:
a), b), c), d) rispettivamente come sopra.
affinché la serie di n che va da zero a infinito di {a(n)} sia convergente. (risposta corretta c))

Spero possiate aiutarmi, vi ringrazio in anticipo.

P.s. Sono nuova del forum e non so come scrivere gli esercizi utilizzando i simboli matematici, spero si capisca comunque :roll:
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda ostrogoto » 27/02/2015, 10:34

Secondo quesito:

Se $ {a_n} $ successione con $ a_n>0 $, allora la condizione " $ sum_(n=0)^(+oo)sqrt(n)a_n $ e' convergente " e' sufficiente ma non necessaria perche' $ a_n<=sqrt(n)a_n $ e quindi per il criterio del confronto se la seconda converge allora lo fa anche la prima.

p.s. per scrivere le formule usa il tasto "aggiungi formula" che si trova sotto lo spazio nel quale scrivi... :-)
ostrogoto
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda ostrogoto » 27/02/2015, 15:05

Per il primo quesito:

Consideriamo le somme parziali di una serie $ sum_(n=0)^(+oo)a_n $ convergente:
$ s_0=a_0 $
$ s_1=a_0+a_1 $
$ s_2=a_0+a_1+a_2 $
$ s_3=a_0+a_1+a_2+a_3 $
...

Le somme parziali $ t_n $ della serie della condizione sono:
$ t_0=a_0 $
$ t_1=a_0+a_1+a_2 $
$ t_2=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 $
...

Si nota che $ t_0=s_0 $, $ t_1=s_2 $, $ t_2=s_5 $ etc etc.
In altri termini la successione delle somme parziali $ {t_n} $ e' una sottosuccessione della successione $ {s_n} $ delle somme parziali della serie $ sum_(n=0)^(+oo)a_n $, quindi se quest'ultima converge cioe' la successione $ {s_n} $ converge allora anche qualunque sua sottosuccessione compresa quella costituita dalle somme parziali della serie della condizione, deve convergere allo stesso limite per un teorema. Quindi la convergenza della serie nella condizione e' condizione necessaria per la convergenza.
Per dimostrare la non sufficienza basta un controesempio, prova a pensarci...
ostrogoto
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda salt21 » 27/02/2015, 16:36

Grazie mille!! Forse ho capito...

Considerato che {tn} $ sub $ {sn}, allora se {sn} converge, di certo {tn} non potrà divergere a + $ oo $ .
Tuttavia non viene specificato che la serie sia a termini positivi (caso in cui, se convergesse serie avente successione delle somme parziali {sn}, allora convergerebbe pure {tn}, in quanto il carattere della serie a termini positivi è divergente a più infinito o convergente).

Poiché la serie avente come successione delle somme parziali {tn} potrebbe essere a termini negativi, allora potrebbe divergere a -$ oo $, dunque la condizione non può essere considerata sufficiente ma solo necessaria.

Però non penso di aver detto correttamente...di certo mi sbaglio..aiutino? :oops: :oops: :oops: :oops:
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda salt21 » 27/02/2015, 16:41

Comunque permane qualche dubbio su "condizione necessaria e condizione sufficiente" .. saresti in grado di chiarirmi le idee con esempi semplici?

Ad esempio nel secondo quesito la condizione risulta sufficiente (e qui ci siamo) ma non necessaria. Perché?
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda ostrogoto » 28/02/2015, 00:18

Considerato che {tn} ⊂ {sn}, allora se {sn} converge, di certo {tn} non potrà divergere a + ∞ .

Il punto e' che se la successione {s_n} converge, allora la sua sottosuccessione {t_n} deve convergere allo stesso limite in virtu' del seguente teorema sulle successioni che non richiede che la successione sia a termini positivi o meno, non solo come dici tu "non potra' divergere a $ +oo $":

Th"Sia $ {a_n} $ una successione a valori in $ RR $. Condizione necessaria affinche' $ {a_n} $ converga a $ yinRR $ e' che ogni sottosuccessione converga a y."

In altre parole ancora se $ s_n $ converge e di qualunque segno siano i suoi valori, allora la sua sottosuccessione $ t_n $ converge allo stesso limite.
Cosi' se la serie iniziale $ sum_(n=0)^(+oo)a_n $ converge allora per definizione di convergenza di una serie la successione delle sue somme parziali converge e per il teorema citato converge pure la successione delle serie parziali della serie con i termini raggruppati della condizione, per intenderci $ a_0+[a_1+a_2]+[a_3+a_4+a_5]+[a_6+a_7+a_8+a_9]+... $, quindi ancora per definizione di convergenza di una serie anche $ a_0+[a_1+a_2]+[a_3+a_4+a_5]+[a_6+a_7+a_8+a_9]+... $ converge.

Cosi' la condizione e' necessaria ossia se la serie iniziale converge allora anche la serie della condizione converge.

Comunque permane qualche dubbio su "condizione necessaria e condizione sufficiente" .. saresti in grado di chiarirmi le idee con esempi semplici?
Ad esempio nel secondo quesito la condizione risulta sufficiente (e qui ci siamo) ma non necessaria. Perché?

Supponiamo di considerare la serie $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^(3/2) $. Questa converge mentre la serie $ sum_(n=1)^(+oo)sqrt(n)*1/n^(3/2)=sum_(n=1)^(+oo)1/n $ naturalmente no essendo la serie armonica.
In altri termini se una serie rispetta la condizione che $ sum_(n=1)^(+oo)sqrt(n)a_n $ converga allora converge per la dimostrazione del messaggio precedente, condizione sufficiente, ma ci sono tante altre serie che convergono, per esempio $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^(3/2) $, pur non rispettando la condizione che quindi non risulta essere necessaria.
D'altra parte la nota condizione che una serie converge se il suo termine generale $ a_nrarr0 $ per $ nrarr+oo $ e' necessaria, ossia se una serie converge allora vale tale condizione, o in altri termini tutte le serie convergenti verificano tale condizione, ma non e' sufficiente in quanto $ sum_(n=1)^(+oo)1/n $ la soddisfa ma non e' convergente essendo la serie armonica.
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda salt21 » 28/02/2015, 08:31

:D :D :D :D :D :D :D Grazie mille finalmente ho capito!!! Solo un'ultima cosa.. qual era il controesempio che dimostrava che nel quesito uno la condizione fosse necessaria ma non sufficiente? Forse il fatto che OGNI sottosuccessione debba convergere affinchè la successione a_n sia pure convergente (ma in questo caso abbiamo certezza della convergenza di UNA sola sua sottosuccessione)?
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda ostrogoto » 28/02/2015, 10:13

Supponiamo di considerare la serie cosi' definita:
$ a_0=0 $
$ a_1=1" "a_2=-1 $
$ a_3=a_4=1" "a_5=-2 $
$ a_6=a_7=a_8=1" "a_9=-3 $
...

Le somme parziali della serie della condizione sono $ t_n=0 $ cosi' $ t_nrarr0 $ per $ nrarr+oo$ quindi tale successione e' convergente.
Tuttavia la successione delle somme parziali della serie e' $ s_n={0,1,0,1,2,0,1,2,3,0,...} $ e non converge in quanto la sottosuccessione ottenuta prendendo i valori dove $ a_n=1 $ converge a 1 e quindi ho 2 sottosuccessioni della successione $ s_n $ che convergono a due limiti diversi (l'altra e' $ t_n $ ) e quindi la serie data non puo' convergere. E questo e' il controesempio per il primo quesito: la serie soddisfa la condizione ma non converge!
La tua ispirazione sulle sottosuccessioni era da elaborare ma corretta!

Per la cronaca, il fatto che data una successione convergente ogni sua sottosuccessione converga allo stesso limite e' una condizione necessaria per la convergenza della serie, ma non sufficiente! :-D
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Re: Dubbi convergenza serie e condizione necessaria

Messaggioda salt21 » 28/02/2015, 21:39

Ok ci sono!!! Grazie ancora :D :-D
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