analisi II: volume

[domax93]

salve ragazzi
ho questo esercizio che non saprei come impostare: determinare il volume dell'insieme
$ D= (x,y,z) in r^3 : x^2+y^2<=3, 3x^2+3y^2+z^2<=27 $

come potrei parametrizzare il dominio? ho provato con le cordinate sferiche, ma mi trovo dinanzi ad un muro. probabilmente non ho interpretato bene il dominio. suggerimenti? grazie

[fhabbio]

riconduciti alla forma

$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$

che è un ellissoide.

E poi sostituisci in tal modo

$\{(x = a*cos(alpha)*cos(phi)),(y = b*cos(alpha)*sin(phi)),(z = c*sin(alpha)):}$

con
$-90°<=alpha<=90°$
e
$0°<=phi<=360°$ (ovviamente radianti, ho scritto così per comodità!!!)

provaci dovrebbe funzionare

[gio73]

e il cilindro $x^2+y^2<=3$ che fine fa?

Sono d'accordo con fabio che $3x^2+3y^2+z^2<=27$ sia un elissoide, un elissoide di rotazione per la precisione (se lo affettiamo con piani perpendicolari all'asse z otteniamo dei cerchi). Questo elissoide però si interseca con il cilindro $x^2+y^2<=3$, o sbaglio?

[fhabbio]

forse dico una boiata di quelle da essere bannato a vita, ma ora che lo guardo meglio, l'ellissoide non è compreso completamente all'interno del cilindro (tangente all'interno del cilindro)???
in tal caso (sicuramente lo interpreto male) il problema si ridurrebbe al calcolo del volume dell'ellissoide.
Scusate se dico stupidaggini, ricordavo quella sostituzione per l'ellissoide e per questo ho risposto per il resto sono passati anni da quando ho sostenuto analisi II e in quel che studio attualmente tali conoscenze servono poco. (se state pensando che mi stia giustificando, per l'eventuale errore scritto, avete indovinato...mi sto giustificando!xD)

[gio73]

magari sbaglio io...
il cilindro dovrebbe avere raggio $sqrt3$
mentre i semiassi del nostro elissoide dovrebbero essere $3$, $3$ e $3sqrt3$

$3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$

[fhabbio]

giusto giusto ecco dove stava la magagna...

quindi di un ellissoide di assi lunghi $3$,$3$,$3sqrt(3)$ rispettivamente lungo x,y,z dobbiamo considerare l'intersezione con il cilindro di raggio $sqrt(3)$

[gio73]

già
a questo punto aspetterei le osservazioni di domax93, in fondo l'open poster è lui.

Cosa studi fabio?

[fhabbio]

Ingegneria Meccanica. Tu lavori? Di cosa ti occupi? (supponendo che il 73 nel nick non sia l'età!)
Ma forse di questo è meglio parlarne altrove per non intasare il thread... sai com'è...magari qualche mod a caso potrebbe lamentarsi

[gio73]

sembra che domax abbia perso interesse

giusto per concludere a me viene $V=pi(36sqrt3-24sqrt2)$, coincide col tuo?
Mi capita spesso di fare errori di calcolo.
Sì lavoro e per come stanno andando le cose probabilmente lavorerò anche quando avrò 73 anni.
Anyway l'occupazione di oggi sono le pulizie domestiche.

[domax93]

GRAZIE per le risposte ad entrambi, non mi aspettavo questo "successo"
non ho perso l'interesse, ho avuto altre cose da fare. riguardo la discussione stasera e vediamo cosa ne vien fuori. Grazie ancora