cicalino ha scritto:Io la vedo così...
Non è così semplice, né questo mette fine alle discussioni.
"Io la vedo così..." in Matematica, nelle Scienze e nella vita, non esiste.
Non esiste perché per "vederla così" ognuno ha le proprie idee. Idee che vanno esposte e difese fino in fondo, ma che si deve esser pronti a modificare nel caso in cui esse si dimostrino infondate/non giuste.
Ad esempio:
cicalino ha scritto:d'altra parte la successione $S_n$ delle somme ridotte, della serie $\sum_{k=1}^oo a_k$ è definita come $\sum_{k=1}^n a_k$, cioè la somma dei primi $n$ elementi della successione. La serie, per me, può essere vista allora come
$lim_(n->oo) \sum_{k=1}^n a_k$
da cui arguisco che la serie è per te il limite delle sue somme parziali; d'altra parte, dopo, scrivi citando il tuo testo:
cicalino ha scritto:Il mio libro afferma esattamente le stesse cose, a parte la congettura sul vedere la somma della serie come un limite, che è del tutto mia.
Afferma, che se la successione (delle ridotte) $S_n$ converge ad un limite $s in RR$ allora la serie è convergente e la somma della serie vale proprio $s$
Possiamo quindi dire che se $lim_(n->oo) S_n = lim_(n->oo) \sum_{k=1}^n a_k = s in RR$ allora la serie è convergente.
da cui induco che è la somma della serie ad essere il limite delle somme parziali... Quindi?
Cos'è una serie? Mica si capisce.
Ora, come ho già detto altrove, esistono diverse definizioni di serie, ma tutte le definizioni che conosco tengono
ben distinti i concetti di "serie" e di "somma della serie".
La definizione più semplice (e correntemente usata in quasi tutti i testi che diano una definizione chiara del termine
1) è la seguente:
"Sia \((a_n)\) una successione di numeri reali.
La successione di termine generale \(s_n:=\sum_{k=1}^n a_k\) si chiama serie numerica ed il suo generico elemento \(s_n\) è detto somma parziale \(n\)-esima della serie; invece, i termini \(a_n\) vengono detti addendi della serie.
Se esiste, il limite della successione \((s_n)\) viene detto somma della serie."
L'altra definizione sul mercato è quella che usa il concetto di coppia ordinata di successioni e che ho scritto nel mio vecchio post citato in precedenza. Questa la preferisco per i motivi già citati nel thread di cui il mio vecchio post appena menzionato fa parte.
In ogni caso, si tiene ben distinto il concetto di "serie" da quello di "somma della serie" e ciò si spiega in due parole: esistono serie che non hanno una somma!
Ad esempio, le serie con addendi \(a_n:= (-1 )^n\) o \(b_n:= (-2)^n\) (che non hai dubbi siano serie lecite) hanno le somme parziali non dotate di limite, ergo pur essendo serie lecite esse non hanno somma!
Un'altra ambiguità nasce dall'uso di notazioni improprie.
Infatti, correntemente (ma non correttamente, IMHO) è invalso l'uso di denotare col simbolo:
\[
\tag{*}
\sum_{n=1}^\infty a_n
\]
sia la somma della serie sia la serie stessa.
Tempo fa ho proposto (ed uso correntemente nelle mie lezioni, nei miei scritti personali e nei post sul forum) di usare il simbolo \(\sum a_n\) per denotare la serie ed il simbolo (*) per denotarne la somma... Ma questa scelta è personale e suppongo sia "questione di gusti".
Infine, per quel che riguarda il ricontrollare ciò che scrivi.
cicalino ha scritto:Per fare un esempio, la serie armonica generalizzata $\sum_{n=1}^oo 1/n^2$ diciamo che converge perché effettivamente, da un certo punto in poi, si ha che addizionando i termini della successione $1/n^2$ si ottengono valori molto vicini allo 0, quindi la somma assume un valore che possiamo dire finito; questo accade sommando all'infinito i termini della successione
Ma anche no... Poiché la somma della serie \(\sum \frac{1}{n^2}\) è \(\frac{\pi^2}{6}\), sommando i termini della successione \(\frac{1}{n^2}\) si ottengono valori molto vicini a \(\frac{\pi^2}{6}\) e non a \(0\), come erroneamente scrivi.
Ciò che si avvicina a \(0\) sono gli addendi, cioè \(\frac{1}{n^2}\)... Ma ciò, come ben sai, non c'entra "quasi" nulla con le proprietà di convergenza della serie (e.g., la serie armonica) e dunque il tuo uso di "quindi" è improvvido.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Io mi limito a dire "così è, se ti pare", se dissenti perfino dal Bourbaki, non so che farci.
credo di essere perplesso almeno quanto kobeilprofeta.
