Approssimazione di funzione: problema con gli $o(1)$

[qwertyuio]

Sia $x=x(t)$ una funzione che tende a $0$ per $t->\infty$.
Facendo uno sviluppo di taylor al primo ordine intorno al punto $x=0$, è facile vedere che
$$\frac{1-x(t)}{1+x(t)}=1-2x(t) (1+o(1))$$
per $t->\infty$.
Ora mi chiedo se è ancora vero che
$$\frac{1-x(t)(1+o(1))}{1+x(t)(1+o(1))}=1-2x(t) (1+o(1))$$
per $t->\infty$.
Forse mi sfugge qualcosa di semplice.. ma non posso ripetere il ragionamento di prima con lo sviluppo di Taylor della funzione $(1-x)/(1+x)$ perché ora i due $o(1)$ al numeratore e al denominatore sono due funzioni diverse tra loro.

[Rigel]

Probabilmente il modo miglore per convincersi è scrivere il rapporto come
\[
\frac{1-x(t) (1+\epsilon_1(t))}{1+x(t)(1+\epsilon_2(t))}
\]
con \(\epsilon_i(t) \to 0\) per \(t\to +\infty\) e fare i conti.

[qwertyuio]

Grazie, hai ragione. In effetti è facile verificare direttamente che
$$\bigg(\frac{1-x(t)(1+\epsilon_1(t))}{1+x(t)(1+\epsilon_2(t))}-1\bigg)\big/(-2x(t)) \rightarrow 1$$
per $t\to\infty$.