da Antimius » 01/03/2015, 01:14
Poniamoci nel caso di equazioni lineari a coefficienti costanti: $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+ \ldots + a_1y'+a_0y=f(t)$.
In genere devi ingegnarti di volta in volta per trovare la soluzione particolare, ma ci sono casi in cui si può predire di che tipo sarà la soluzione. Per fare questo devi guardare che tipo di funzione è $f(t)$.
Questi casi sono ad esempio quando $f$ è polinomiale, esponenziale o una combinazione di seni/coseni.
Sintetizzando, se $f(t)=p(t)e^{at}cos(bt)+q(t)e^{at}sin(bt)$ (con $p$ e $q$ polinomi), allora la soluzione particolare dell'equazione sarà del tipo $t^k[A(t)e^{at}cos(bt)+B(t)e^{at}sin(bt)]$.
$A$ e $B$ sono polinomi da determinare come hai fatto nell'esercizio precedente. Il loro grado è il massimo tra i gradi di $p$ e $q$.
$k=0$ se $a+ib$ non è radice del polinomio caratteristico dell'equazione omogenea. Nel caso in cui invece $a+ib$ sia radice del polinomio caratteristico, $k$ è la sua molteplicità.
Esempio: $y'-y=t^2e^t$
$f(t)$ è come prima con $p(t)=t^2$, $q(t)=0$, $a=1$, $b=0$. Allora la soluzione sarà del tipo su descritto con $A(t)$ di grado $2$ e quindi $A(t)=a_2t^2+a_1t+a_0$ con costanti da determinare. In questo caso il polinomio da determinare è soltanto uno perché non c'è né il seno né il coseno. Osserva che basta che ci sia anche solo il seno, allora nella soluzione devi includerli entrambi e quindi calcolare entrambi i polinomi (questo perché derivando compariranno sia seni che coseni).
$1$ è radice (con molteplicità 1) del polinomio caratteristico, quindi $k=1$.
$\bar y=te^t(a_2t^2+a_1t+a_0)$. Facendo i conti come prima si determinano le costanti.
Osserva che il $t$ davanti è necessario essendo $1$ soluzione del polinomio caratteristico (e quindi $e^t$ soluzione dell'omogenea). Infatti se non ci fosse, sostituendo nell'equazione, avremmo: $e^t(a_2t^2+a_1t+a_0+2a_2t+a_1)-e^t(a_2t^2+a_1t+a_0)=e^t(2a_2t+a_1)$. E questo termine non potrà mai essere uguale a $f(t)$ avendo un polinomio di primo grado. (Se avessimo avuto un coefficiente diverso da 1 all'esponente, il termine di secondo grado non si sarebbe eliso).
Prova a risolvere l'equazione $y'-y=te^tcost$ (ovviamente essendo l'equazione del primo ordine, la soluzione si può scrivere direttamente come $e^t\int tcost$, ma io te l'ho data per farti familiarizzare col metodo che ho descritto)