Carattere di una serie al variare di un parametro

[Meringolo]

Salve

sono alle prese con questa serie :

Studiare al variare di $\alpha in RR$ il carattere della serie

$\sum_{k=1}^infty (-1)^n ((1/(e*sqrt(n)-1))/(sqrt(n)))^((n^\alpha/(n+1))$

Intanto noto che è a segni alterni, quindi vorrei usare Leibnitz....

[ostrogoto]

Cominciamo con il criterio necessario di convergenza.
Per $ alpha<0 $ per $ nrarr+oo $
$ 1/n^(-|alpha|)*1/(n+1)ln(1/(en-sqrt(n)))=1/n^(-|alpha|)*(-1/(n+1))(ln(en-sqrt(n)))=1/n^(-|alpha|)*(-1/(n+1))[ln(n)+1+ln(1-1/(esqrt(n)))]rarr0 $
e si procede similmente per $ 0<alpha<1 $ essendo comunque $ ln(n)/root(beta)nrarr0" "betainRR" "beta>1 $

Quindi in conclusione studiando il limite del modulo del termine generale della serie per $ nrarr+oo $:

$ (1/(en-sqrt(n)))^(n^alpha/(n+1))=exp[(n^alpha/(n+1))ln(1/(en-sqrt(n)))]rarr{ ( 0" "alpha>=1 ),( 1" "alpha<1 ):} $

e si conclude direttamente che per $ alpha<1 $ la serie non converge per il criterio necessario di convergenza.

[ostrogoto]

La serie data converge assolutamente e quindi converge semplicemente per il criterio della radice per $ alpha>=2 $:

$ (1/(en-sqrt(n)))^(n^alpha/(n(n+1)))=exp[(n^alpha/(n(n+1)))ln(1/(en-sqrt(n)))]rarr{ ( 0" "alpha>=2 ),( 1" "alpha<2 ):} $
per $ nrarr+oo $
[il calcolo del limite e' simile a quanto fatto precedentemente]

[Meringolo]

Scusami, avendo copiato da un appunto scritto a mano, ho sbagliato la formula

Quella corretta è $\sum_{k=1}^infty (-1)^n ((e^(1/(sqrt(n)))-1)/(sqrt(n)))^((n^\alpha/(n+1))$

[ostrogoto]

Per il criterio necessario di convergenza:
$ ((e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n))^(n^alpha/(n+1))=exp[n^alpha/(n+1)ln((e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n))]=exp[n^alpha/(n+1)ln(1/n+o(1/n))]rarr{ ( 0" " alpha>=1 ),( 1" "alpha<1 ):} $

quindi la serie data non converge per $ alpha<1 $.

Poi completero' lo studio per $ alpha>=1 $, just a moment...

[ostrogoto]

Per il criterio della radice la serie converge assolutamente e quindi converge per $ alpha>=2 $ [sfruttando comodamente quanto gia' usato nel calcolo con la condizione necessaria: aggiungendo un $ 1/n $ si ha che la condizione su $ alpha $ "cresce" di 1:

$ ((e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n))^(n^alpha/(n(n+1)))=exp[n^alpha/(n(n+1))ln((e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n))]=exp[n^alpha/(n(n+1))ln(1/n+o(1/n))]rarr{ ( 0" " alpha>=2 ),( 1" "alpha<2 ):} $

[Meringolo]

Per quale motivo approssimi $\ln((e^(1/(sqrt(n)))-1)/(sqrt(n)))$ con $\ln(1/n + o (1/n))$ ?

[ostrogoto]

Ho sviluppato in serie di Taylor l'argomento del logaritmo per calcolare il limite...
$ e^(1/sqrt(n))=1+1/sqrt(n)+o(1/sqrt(n)) $

[ostrogoto]

Ora riesco a dimostrare qualcosa di piu' di prima: per $ alpha>1 $ c'e' convergenza assoluta:

Per n opportunamente grande (per la seconda disuguaglianza, per la prima basta $ n>=2 $ ) capita che per $ alpha>1 $ vale:

$ [(e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n)]^(n^alpha/(n+1))<=[(e^(1/sqrt(2))-1)/sqrt(2)]^(n^alpha/(n+1))<=[(e^(1/sqrt(2))-1)/sqrt(2)]^n $

ed essendo l'ultima una serie geometrica convergente perche' $ [(e^(1/sqrt(2))-1)/sqrt(2)]<1 $, segue l'asserto per il teorema del confronto!

Per la cronaca il passaggio dalla prima alla seconda uguaglianza e' giustificato con un piccolo studio di funzione con cui dimostro che $ [(e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n)] $ e' monotona decrescente [studio la funzione con la variabile x continua invece di n] e per il passaggio successivo noto che la disuguaglianza e' vera per $ n^alpha/(n+1)-n>0 $ e da uno studio di funzione con grafico ho ottenuto la condizione $ alpha>1 $. Il sistema e' un poco complesso, l'ammetto, pero' funziona...

Abbi fede, poi arrivera' la dimostrazione per $ alpha=1 $...mi scuso per i ritardi...
Per ora dimostro che per $ alpha=1 $ non c'e' convergenza assoluta:

$ 1/n<=(e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n)<=[(e^(1/sqrt(n))-1)/sqrt(n)]^(n/(n+1)) $

quindi per confronto non c'e' convergenza assoluta (la serie data in modulo diverge a $ +oo $ ) poiche' la serie armonica $ sum_(n=0)^(+oo)1/n $ diverge a $ +oo $.

[ostrogoto]

Dunque per $ alpha=1 $ la serie data converge per il criterio di Leibnitz.
Per dimostrare che la successione dei termini generali e' decrescente ho calcolato la derivata (si tratta di una somma di due termini negativi per $ n>=1 $ ).

In conclusione per $ alpha>1 $ la serie data converge perche' converge assolutamente; per $ alpha=1 $ converge per il criterio di Leibnitz, per $ alpha<1 $ non converge.