Carattere Serie

[salt21]

Salve, c'è qualcuno in grado di aiutarmi nello studio del carattere di alcune serie? Non riesco a capire come fare oppure se lo capisco spesso non ottengo il risultato giusto.

Le serie sono:
$ sum_(n = \1) (log(n^2+1)-n)/(log(n^2+1)+n),
sum_(n = \1) (-1/(sqrt(2)) )^(n+3),
sum_(n = \1) (arctg(n)-arctg(n+1)),
sum_(n = \1) ((n+1)/(n)^3) $

Ovviamente non pretendo che le facciate tutte al posto mio, solo che mi diate una dritta nello svolgimento in modo che io capisca come fare, grazie

p.s. non sono riuscita a mettere il simbolo di infinito sopra il simbolo di sommatoria XD

[mr Blonde]

se hai il termine generale a segni alterni prova il criterio di Leibniz, altrimenti poi usare il confronto con altre serie di cui conosci il carattere, oppure se hai serie telescopiche è ancora più semplice

[ostrogoto]

Per la prima verifica se il termine generale va a 0 per $ nrarr+oo $
La seconda converge assolutamente ed e' facilmente riconducibile a una serie nota...
Per l'ultima "divide et impera"...la serie $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^alpha $ converge per $ alpha>1 $...
Per la terza non resisto ad usare Taylor:

$ artg(n)-artg(n+1)=-1/n+1/(n+1)+o(1/n)=-1/(n(n+1))+o(1/n) $

Per mettere il simbolo $ +oo $ sopra la sommatoria usa ^(+oo)

[ostrogoto]

Do' le soluzioni agli indovinelli in ordine sparso

Seconda serie
$ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^(n+3)=(-1/sqrt(2))^3sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $

Ora la serie $ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $ e' una serie geometrica convergente in quanto $ (-1/sqrt(2))in(-1,1) $. Quindi la serie data converge.

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Quarta serie
$ sum_(n=0)^(+oo)((n+1)/n^3)=sum_(n=0)^(+oo)(1/n^2)+sum_(n=0)^(+oo)(1/n^3) $

Tre maniere di risolvere.
1) Le due serie a destra dell'uguaglianza convergono entrambe essendo l'esponente di n maggiore di 1, quindi anche la serie iniziale converge.
2) $ ((n+1)/n^3)~1/n^2 $ per $ nrarr+oo $ quindi la serie data converge.
3) $ ((n+1)/n^3)=(1/n^2)+(1/n^3)<=1/n^2+1/n^2=2(1/n^2) $
ed essendo la serie $ sum_(n=0)^(+oo)1/n^2 $ convergente per il teorema del confronto segue la convergenza della serie originale.

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Terza serie
$ artg(n)-artg(n+1)=artg(n)-pi/2-artg(n+1)+pi/2= -artg(1/n)+artg(1/(n+1) $
Se Taylor resta indigesto, uso la formuletta $ artg(x)+artg(1/x)={ ( pi/2" "x>0 ),( -pi/2" "x<0 ):} $
cosi' continuo $ -artg(1/n)+artg(1/(n+1))~-1/n+1/(n+1)=-1/(n(n+1)) $ e quest'ultima serie converge assolutamente essendo la serie di Mengoli e quindi anche la serie data converge. [se una serie converge assolutamente allora converge semplicemente]

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Prima serie
$ (log(n^2+1)-n)/(log(n^2+1)+n)=((log(n^2)+log(1+1/n^2)-n)/n^2)/((log(n^2)+log(1+1/n^2)+n)/n^2)rarr(1-1/n)/(1+1/n)rarr1 $
per $ nrarr+oo $ usando i limiti notevoli sui logaritmi.
Poiche' il termine generale della serie non va a 0 per $ nrarr+oo $ allora non e' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, quindi la serie originale non converge.

D'accordo?

[salt21]

Ragazzi scusate l'assenza, ho avuto problemi di connessione. Grazie a tutti, credo di aver capito come studiare questo tipo di serie !
Unico dubbio.. per quanto riguarda la serie (3), quella con l'arcotangente, non potrei risolvere le due serie separatamente e poi considerare la serie iniziale come differenza di due serie (se esse sono entrambe convergenti, allora anche la serie iniziale sarà convergente, altrimenti no, corretto?)?

[ostrogoto]

$ sum_(n=1)^(+oo)artg(n) $ e' divergente in quanto il termine generale $ artg(n)rarr+pi/2 $ pe $ nrarr+oo $ quindi non e' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza.
Ma non si puo' concludere nulla circa la serie iniziale con questo metodo in quanto $ -artg(n+1) $ diverge a $ -oo $ e quindi la somma delle due serie produce una forma di indecisione.

Dopodiche' in generale date due serie se esse convergono allora la serie somma converge e la somma e' la serie della somma, mentre date due serie di cui una almeno divergente allora il carattere della somma e' determinato tranne nel caso in cui una serie diverge a $ +oo $ e l'altra a $ -oo $.

[Ernesto01]

$ sum(arctgx -arctg(x+1)) $ è una serie telescopia, la somma parziale Sx è uguale a $ Sx=arctg(1)-arctg(x+1) $ e si può facilmente ottenere la somma per x->infinito

[salt21]

Benissimo, adesso è chiaro, grazie davvero! Mi siete di grande aiuto