Do' le soluzioni agli indovinelli in ordine sparso
Seconda serie$ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^(n+3)=(-1/sqrt(2))^3sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $
Ora la serie $ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $ e' una serie geometrica convergente in quanto $ (-1/sqrt(2))in(-1,1) $. Quindi la serie data converge.
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Quarta serie$ sum_(n=0)^(+oo)((n+1)/n^3)=sum_(n=0)^(+oo)(1/n^2)+sum_(n=0)^(+oo)(1/n^3) $
Tre maniere di risolvere.
1) Le due serie a destra dell'uguaglianza convergono entrambe essendo l'esponente di n maggiore di 1, quindi anche la serie iniziale converge.
2) $ ((n+1)/n^3)~1/n^2 $ per $ nrarr+oo $ quindi la serie data converge.
3) $ ((n+1)/n^3)=(1/n^2)+(1/n^3)<=1/n^2+1/n^2=2(1/n^2) $
ed essendo la serie $ sum_(n=0)^(+oo)1/n^2 $ convergente per il teorema del confronto segue la convergenza della serie originale.
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Terza serie$ artg(n)-artg(n+1)=artg(n)-pi/2-artg(n+1)+pi/2= -artg(1/n)+artg(1/(n+1) $
Se Taylor resta indigesto, uso la formuletta $ artg(x)+artg(1/x)={ ( pi/2" "x>0 ),( -pi/2" "x<0 ):} $
cosi' continuo $ -artg(1/n)+artg(1/(n+1))~-1/n+1/(n+1)=-1/(n(n+1)) $ e quest'ultima serie converge assolutamente essendo la serie di Mengoli e quindi anche la serie data converge. [se una serie converge assolutamente allora converge semplicemente]
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Prima serie $ (log(n^2+1)-n)/(log(n^2+1)+n)=((log(n^2)+log(1+1/n^2)-n)/n^2)/((log(n^2)+log(1+1/n^2)+n)/n^2)rarr(1-1/n)/(1+1/n)rarr1 $
per $ nrarr+oo $ usando i limiti notevoli sui logaritmi.
Poiche' il termine generale della serie non va a 0 per $ nrarr+oo $ allora non e' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, quindi la serie originale non converge.
D'accordo?