Calcolo integrale doppio

[MDD]

Mi trovo nuovamente in difficoltà con un integrale doppio...

L'esercizio è il seguente:

$ int int_D xe^(x^2)e^|y+x+1|dxdy, D={|x|-1<=y<=1-x^2,x<=0} $

Ho disegnato il dominio di integrazione:



Ho spezzato il dominio $ D $ in due domini

$ D_1 = { -1<=x<=0 , <=y<=1-x^2 } $

$ D_2 = { -1<=x<=0 , -x-1<=y<=0 } $

Ho studiato il modulo $ |y+x+1|$, che risulta essere positivo per $ y>-x-1 $ e negativo per $ y<-x-1 $; dal domionio $D$ vedo che l'unica soluzione da considerare è la prima, dato che non risulta mai $ y<-x-1 $, quindi l'integrale di partenza diventa

$ int int_(D_1 uu D_2) xe^(x^2)e^(y+x+1)dxdy $

mi sono bloccato nella risoluzione di

$ int int_(D_1) xe^(x^2)e^(y+x+1)dxdy = e^2int_-1^0 xe^x dx - e int_-1^0 xe^(x^2+x)dx = e^2(2/e-1) - e int_-1^0 xe^(x^2+x)dx $

Mi servirebbe un aiuto nella risoluzione di

$e int_-1^0 xe^(x^2+x)dx$

Grazie

[MDD]

AGGIORNAMENTO

Svolgendo

$ int int_(D_2) xe^(x^2)e^(y+x+1)dxdy $

Sono arrivato a

$ int int_(D_2) xe^(x^2)e^(y+x+1)dxdy = e int_-1^0 xe^(x^2+x) dx - int_-1^0 xe^(x^2)dx = e int_-1^0 xe^(x^2+x) dx - (e+e/2-1) $

A questo punto, dato che $ D = D_1 uu D_2 $, è giusto scrivere questo?

$ int int_D = e^2(2/e-1) - e int_-1^0 xe^(x^2+x)dx + e int_-1^0 xe^(x^2+x) dx - (e+e/2-1) = e^2(2/e-1)-(e+e/2-1) = 1/2 e^3-e^2-3/2e+1 $

e che quindi l'integrale che mi dava problemi sparisce

Qualche volenteroso che, magari per esercitarsi, prova a risolverlo, può darmi conferma e magari illuminarmi comunque sull'integrale che non sono riuscito a risolvere?

Grazie ancora

[Scotti]

Ciao MDD

penso ci sia qualche imprecisione nel riordino degli integrali. Se non ho sbagliato anch'io, vista la tarda ora, a me risulta così:

$int int_(D) xe^xe^(y+x+1)dxdy =e(int_(-1)^0 xe^(2x)int_0^(1-x^2)e^(y)dydx+int_(-1)^0 xe^(2x)int_(-x-1)^(0)e^(y)dydx)$

Forse ora è più chiaro.

In ogni caso non vedo la necessità di separare in due parti il dominio in quanto l'argomento del'esponenziale è sempre positivo
Quindi possiamo scriverlo:

$int int_(D) xe^xe^(y+x+1)dxdy =e(int_(-1)^0 xe^(2x)(int_(-x-1)^(1-x^2)e^(y)dy)dx)$

Bye

[MDD]

Ciao MDD

penso ci sia qualche imprecisione nel riordino degli integrali.

Ciao, grazie per la risposta.
Mi sono accorto solo dopo di un errore nel testo, mancava un esponente; questo è il testo giusto:

$ int int_(D) xe^(x^2)e^|y+x+1|dxdy $

Scusami

[Scotti]

Ok
ora ti ritrovi...