Esercizio sugli infinitesimi

[Izzo]

La traccia dice : stabilire per quali $alpha $ appartenenti ad R è infinitesima per x che tende a $ +oo $ la funzione:
$f(x) = x^alpha log ((x^2 +1)/(x^2-1))$ e calcolare l'ordine di infinitesimo.
Intanto sono arrivato a ciò: $f(x) = x^alpha log (1+(2)/(x^2-1))$. Faccio il limite notevole e mi trovo $lim_(x -> +oo) (2 x^alpha)/(x^2-1)$ . Quindi la funzione è infinitesima per $alpha < 2$.
Come si calcola l'ordine di infinitesimo?

[kobeilprofeta]

In poche parole rimani con $frac{x^a}{x^2}$... l'ordine di infinitesimo è l'ordine di $x^{a-2}$.
quindi se segli $a=1$ ottieni come ordine di infinitesimo $1/x$, cioè la tua $f(x)$ va a zero velocemente quanto $1/x$.

[dissonance]

Un pelino più formalmente, per calcolare l'ordine di infinitesimo di $f$ devi considerare il rapporto con un cosiddetto "infinitesimo campione":
\[
\frac{f(x)}{x^{-\beta}}, \]
e verificare per quale valore di \(\beta\) il limite esiste finito e diverso da zero. Quel valore, se esiste, è per definizione l'ordine di infinitesimo.

Dopo aver fatto un po' di pratica con queste cose, puoi ragionare come kobeilprofeta. Ma consiglio all'inizio di applicare scrupolosamente la definizione, per evitare errori.