esponenziale in x,y

[francesco1993]

buonasera,
mi stavo esercitando per lo scritto di analisi e mi è capitata la seguente funzione per la quale trovare punti stazionari:
$ f(x,y)= e ^ ((x+1)^2 + k(y-1)^2 $
devo imporre che il gradiente sia nullo e poi calcolare l' Hessiano, ok?
Dato che l' esponenziale è strett. crescente, posso studiarne ad esempio solo l' esponente o devo fare tutta la derivata di $ f(x,y) $ ?
e in tal caso come classifico i punti di max min e di sella?

[ciampax]

Quando si studia una funzione esponenziale, è ovvio che la ricerca dei punti stazionari sia riconducibile alla ricerca di tali punti per l'esponente. Infatti se scriviamo $f(x,y)=e^{g(x,y)}$ si ha
$$f_x(x,y)=e^{g}\cdot g_x=f\cdot g_x,\qquad f_y(x,y)=e^{g}\cdot g_y=f\cdot g_y$$
Tuttavia per l'hessiana bisogna fare attenzione. Infatti in generale si ha
$$f_{xx}(x,y)=f_x\cdot g_x+f\cdot g_{xx}=f\cdot g_x^2+f\cdot g_{xx}=f(g_x^2+g_{xx})\\
f_{xy}(x,y)=f_y\cdot g_x+f\cdot g_{xy}=f\cdot g_x\cdot g_y+f\cdot g_{xy}=f(g_x\cdot g_y+g_{xy})\\
f_{yy}(x,y)=f_y\cdot g_y+f\cdot g_{yy}=f\cdot g_y^2+f\cdot g_{yy}=f(g_y^2+g_{yy})$$
Restringendosi però ai punti stazionari, per i quali $g_x'=0=g_y'$, si può concludere che
$$f_{xx}=f g_{xx},\qquad f_{xy}=f g_{xy},\qquad f_{yy}=f g_{yy}$$
e pertanto anche per essa basta analizzare il comportamento dell'esponente.