limite successione numerica

[qadesh]

salve a tutti,

dovrei calcolare il seguente limite:

$lim_(n -> \infty) ({2n}/{3n^2 + 1})^{{1}/{n}}$ .

Allora io farei nel seguente modo:

poichè vale il limite notevole: $lim_(n -> \infty) a ^{{1}/{n}} = 1$ per $a>0$

allora io ho pensato che per $n$ che va all'infinito $a_n = ({2n}/{3n^2 + 1})^{{1}/{n}}$ è per forza maggiore di zero e che quindi posso applicare il limite precedente. dunque direi che tale limite fa $1$. che ne dite?

[Scotti]

Ciao qadesh

il limite è 1 ma non puoi fare così perchè sei di fronte a una forma indeterminata $0^0$.
Usa l'esponenziale per ridurti ad una forma più semplice, cioè:

$exp(1/n*ln(2n)-1/n* ln(3n^2+1))$

a questo punto vedi che i 2 limiti nella parentesi dell'esponenziale vanno entrambi a zero (magari usando Hopital) e quindi il limite è 1.

Bye

[francicko]

Si puo' fare in due modi:
1) sfruttando il noto limite notevole di successioni $lim_(n-
>infty)root (n)(n) =1$
Essendo $lim_(n->infty)((2n)/(3n^2+1))^(1/n)=lim_(n->infty) (1/n)^(1/n)=$ $lim_(n->infty)(1/(root (n)(n))=1/1=1$, che e' a quanto ho capito quello che vuoi fare tu.
2) scrivere nella forma esponenziale $-lim_(n->infty)(1/n)^(1/n)=$ $lim_(n->infty)e^((1/n)log (1/n)) $, porre $1/n=t $, a questo punto
Avremo $lim_(t->0)(e^(t×logt) $, ma $lim_(t->0)t×logt=0$, sostituendo avremo $e^0=1$, che e' il risultato del limite.