Carattere della serie di sin (n)

[lorigra]

Salve,

mi chiedevo in che modo si può dimostrare che la serie sin(n) sia una serie irregolare.

Grazie in anticipo.

[Rigel]

Tenendo conto del fatto che \(\sin n = \text{Im}(e^{in})\), è possibile calcolare esplicitamente le somme parziali \(n\)-esime.

[lorigra]

Tenendo conto del fatto che \(\sin n = \text{Im}(e^{in})\), è possibile calcolare esplicitamente le somme parziali \(n\)-esime.

Ovvero? Riusciresti a spiegarmi bene il procedimento e l'effettiva dimostrazione in maniera rigorosa?

Grazie ancora

[Rigel]

Le somme parziali di \(e^{ik}\) si calcolano facilmente (è una sommatoria geometrica):
\[
s_n := \sum_{k=0}^n e^{ik} = \frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i}\,.
\]
Le somme parziali per \(\sin k\) sono la parte immaginaria di \(s_n\).

[lorigra]

Le somme parziali di \(e^{ik}\) si calcolano facilmente (è una sommatoria geometrica):
\[
s_n := \sum_{k=0}^n e^{ik} = \frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i}\,.
\]
Le somme parziali per \(\sin k\) sono la parte immaginaria di \(s_n\).

ok, e a questo punto, avendo in mano la somma parziale, come faccio a dimostrare che la serie è irregolare?

[fireball]

Basta esplicitare la parte immaginaria di $s_n$ come ha detto Rigel, e poi far vedere che il limite di questa somma parziale non esiste.