analisi II: volume

da **domax93** » 02/03/2015, 19:40

comincio con alcune osservazioni, chiedo scusa in partenza se si dovessero rivelare inesatte.
cominciamo: perché definite $ x^2+y^2<=3 $ come un cilindro? io vedo una bella circonferenza....

quando vado a ricondurmi nella forma $ 3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$
come faccio ad ottenere $ x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1 $
io farei : $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $
a questo punto $ a=1/sqrt1=1 $
stessa cosa $ b $
mentre per $ c= 1/(1/sqrt3)=sqrt3 $

la parametrizzazione risulta:
$ \{(x = cos(alpha)*cos(phi)),(y = cos(alpha)*sin(phi)),(z = sqrt3*sin(alpha)):} $

ora sostituisco queste cordinate, sia in $ x^2+y^2<=3$ e anche in $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $ ?

grazie

update: sostituendo in $ x^2+y^2<=3$, mi trovo che viene $( cos^3(alpha))<=3 $
sostituendo in $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $, mi trovo che viene $ cos^2(alpha)+1/3sin^2(alpha)<=9 $
non riuscendo ad applicare $ cos^2(alpha)+sin^2(alpha)=1 $

da **gio73** » 02/03/2015, 21:20

domax93 ha scritto:comincio con alcune osservazioni, chiedo scusa in partenza se si dovessero rivelare inesatte.
cominciamo: perché definite $ x^2+y^2<=3 $ come un cilindro? io vedo una bella circonferenza....

nel piano $xy$, ma tu sei nello spazio, aren't you?

domax93 ha scritto:quando vado a ricondurmi nella forma $ 3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$
come faccio ad ottenere $ x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1 $
io farei : $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $

se vuoi la forma canonica al secondo membro devi avere 1

da **domax93** » 02/03/2015, 21:43

grazie, sei stato chiaro.
ora parametrizzo $x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$ e vediamo se mi trovo davanti ad un muro. tu hai fatto cosi?

da **gio73** » 02/03/2015, 21:49

da **domax93** » 03/03/2015, 12:36

al momento non saprei come continuare... suggerimenti? Grazie

da **gio73** » 03/03/2015, 13:42

Come ho già detto a fabio, ho calcolato il volume del cilindro e poi ho sommato il volume delle due calotte elissoidali.

da **fhabbio** » 04/03/2015, 00:19

gio73 ha scritto:sembra che domax abbia perso interesse

giusto per concludere a me viene $V=pi(36sqrt3-24sqrt2)$, coincide col tuo?
Mi capita spesso di fare errori di calcolo.
Sì lavoro e per come stanno andando le cose probabilmente lavorerò anche quando avrò 73 anni.
Anyway l'occupazione di oggi sono le pulizie domestiche.

mmm
non mi coincide...quasi sicuramente sbaglio ma non capisco dove

ho calcolato il volume del cilindro
$V_(cil)=pi*r^2*h$
$r$ abbiamo appurato che vale $sqrt(3)$, $h$ invece l'ho calcolata e mi viene fuori pari a $6*sqrt(2)$
quindi
$V_(cil)=18*pi*sqrt(2)$

una sola calotta dell'ellissoide mi viene $pi*(9*sqrt(3)-12*sqrt(2))$

quindi due calotte $pi*(18*sqrt(3)-24*sqrt(2))$

devo aggiungere ora il volume del cilindro
et voilà

$V_(tot)=pi*(18*sqrt(3)-24*sqrt(2))+18*pi*sqrt(2)=pi*(18*sqrt(3)-6*sqrt(2))$

...se necessario ti posto l'integrale (in privato! altrimenti troppo facile per domax!XD)
fammi sapere

da **gio73** » 04/03/2015, 08:42

D'accordo per il cilindro, mandami l'integrale in privato. Ripeto, di distrazioni e errori di calcolo ne faccio quindi è possibilissimo che abbia ragione tu.