eq autonome a variabili separabili e traslazione

[jitter]

Per la $y' = h(y)$ (autonoma) vale la proprietà che se $\phi(t)$ è una soluzione, allora lo è anche

$\psi(t) = \phi(t+a)$ (1),

cioè la composizione $\psi$ della soluzione $\phi$ con la traslazione $\tau(t) = t+a$.

DIM. Devo dimostrare che $\phi(t+a)$ è soluzione (*), cioè che soddisfa l'uguaglianza $\phi'(t+a) = h(\phi(t+a))$.

$\phi'(t+a) = \phi(\tau(t))$. Facendo la derivata della composta:

$\phi'(t+a) = \phi(\tau(t)) = \phi'(t+a)\tau'(t) = \phi'(t+a) * 1 $ (3)

Ma $\phi(t+a)$ è soluzione n(**), quindi $\phi'(t+a)$ è uguale a $h(\phi(t+a)$ $ square $ (2)

Il dubbio è: perché non avrei potuto scrivere la (2) già all'inizio, in (1)? Cioè, perché non avrei potuto dire semplicemente
che siccome $\psi(t) = \phi(t+a)$, allora se una è soluzione lo è anche l'altra? Non sarebbe corretta anche perché non terrei conto dell'ipotesi "autonoma"; ma probabilmente sto anche usando male la composizione e sto confondendo la funzione traslata di $a$ (1) col valore della funzione non traslata in $t + a$. Cioè, in (1) all'inizio ho la funzione traslata, che devo dimostrare essere soluzione, mentre in (2) ho la funzione non traslata $\phi$ in $t+a$. E' corretto? Sto facendo fatica a intuire questa differenza, se è lì il problema.

*, ** [EDIT]: p.s. Non riesco nemmeno a eliminare l'apparente (?) circolo vizioso (*; **).

[Scotti]

Ciao Jitter,

per la tua funzione autonoma possimo scrivere:

$y'(t) = h(y(t))$

se $phi(t) $ è una soluzione, $AA t in I $ varrà:

$phi'(t) = h(phi(t))$ ossia $(dphi(t))/(dt) = h(phi(t))$

allora prendo un punto $(t+alpha) in I$ , siccome appartiene all'intervallo di soluzione allora deve valere anche:

$(dphi(t+alpha))/(dt) = h(phi(t+alpha))$ (i)

ma derivando questa ultima espressione ottengo:

$(dphi(t+alpha))/(dt) =(dphi(t+alpha))/(d(t+alpha))*(d(t+alpha))/(dt) = (dphi(t+alpha))/(d(t+alpha))*1$

quindi sostituendo nella (i) ottengo:

$(dphi(t+alpha))/(d(t+alpha)) = h(phi(t+alpha))$ ossia $phi'(t+alpha) = h(phi(t+alpha))$

$AA (t+alpha) in I$

ed abbiamo così ottenuto la nostra eq. diff. traslata.
c.v.d.

Spero ti sia sufficiente. A presto.
Bye

[dissonance]

@jitter: Si, stai facendo una classica confusione con le notazioni. Se uno scrive $\phi'(x+a)$ non si capisce bene cosa voglia dire: potrebbe dire "calcola la derivata di $\phi$ e valutala in $x+a$" oppure "sostituisci a $\phi$ la funzione $x\mapsto \phi(x+a)$ poi calcolane la derivata". Di solito l'interpretazione è la prima.

Il fatto è che, siccome la funzione $x\mapsto x+a$ ha derivata pari a $1$, le due cose coincidono. Quando però uno comincia considerare cose come $\phi(x^2)$ bisogna fare parecchia più attenzione. (Io mi confondo sempre su queste robe qua.)

[jitter]

Grazie a entrambi, e scusate se rispondo solo ora!
Ora mi è più chiaro, con la traslazione comunque mi incasino da sempre