Fab527 ha scritto:Come arriva a questa espressione? L'unica cosa che mi viene in mente che procede in modo simile è la derivazione di funzione composta, dove date due funzioni ad esempio $ f(x,y,z) $ e $ g(s,t) $ (e ammettendo che le ipotesi per comporle in $ f @ g $ siano soddisfatte) si ha $ (partial (f@g))/(partial t)=nablaf(g(s,t))*(partial g(s,t))/(partial t) $.
Propongo una soluzione alternativa, più standardizzata. In meccanica il simbolo \(\frac{d}{dt}\) indica la
derivata totale (credo la si chiami anche
derivata materiale o
derivata lagrangiana). Significa che la quantità da derivare va valutata lungo il flusso materiale. Se la quantità è \(u=u(\mathbf{x}, t)\) allora la derivata totale è data da
\[
\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}\big( u(\mathbf{x}(t), t)\big). \]
(In parole povere, si considera \(\mathbf{x}\) come una funzione di \(t\)). Applicando la formula della derivata di funzione composta si ottiene
\[
\frac{d u}{dt}=\sum_i \frac{\partial u}{\partial x_i}(\mathbf{x}(t), t)\dot{x}^i(t)+\frac{\partial u}{\partial t}, \]
che si può anche scrivere in termini di prodotto scalare e operatore nabla:
\[
\frac{d u}{d t}=\dot{\mathbf{x}}\cdot\nabla u + \frac{\partial u }{\partial t}.\]
Questo modo di procedere è quello standard quando uno deve fare calcoli con operatori differenziali: si passa in coordinate (nel nostro caso le coordinate sono $x_1\ldots x_n$), si scompongono i vettori in componenti (nel nostro caso $\dot{\mathbf{x}}=\sum_i \dot{x}^i\hat{e}_i$) e si fanno i conti usando la formula per la derivata della funzione composta (e le altre identità differenziali). In questo modo si evitano errori.
