Studio del carattere di una serie al variare di un parametro reale.

[Kevlar]

Salve a tutti, ho iniziato da poco a studiare le serie numeriche ed ho problemi ad impostare questa tipologia di esercizi che ho citato nel titolo del topic. Un esempio:

- Studiare il carattere della seguente serie numerica al variare del parametro x reale.

$\sum_{n=1}^N x^n / (1 + x^(2n))$ $AA x in RR$

Ho pensato di risolvere in questo modo. Poichè il parametro $x$ varia in $RR$ il segno della serie è variabile e dunque studio la convergenza assoluta. Applico il criterio del rapporto

$\lim_{n \to \infty}|a_n|/|a_(n+1)| = 1/|x| , x in RR$

Quindi:
- Se $|x|>1$ la serie converge.
- Se $ |x|<1$ la serie diverge.
- Se $x=1$ la serie risulta costante, quindi convergente.
- Se $x=-1$ la serie è a segni alterni, per il criterio di Leibniz è non convergente.

Non sono molto convinto del procedimento. Ci sono errori? Grazie a chi risponderà!

[ostrogoto]

Una serie costante positiva di sicuro diverge:
Se per esempio:
$ a_n=k" "AAn\inNN" "k>0 $
allora le sue somme parziali sono:
$ sum_(n=0)^Na_n=N*k $
cosi' la successione delle somme parziali sara': $ {k,2k,3k,...Nk,....} $ che chiaramente diverge a $ +oo $
Quindi la serie data per $ x=1 $ diverge!

$ |x|^n/(1+x^(2n))<=|x|^n $ serie geometrica convergente per $ -1<x<1 $ e quindi la serie data converge anch'essa per tali valori.

[Kevlar]

Ciao ostrogoto, grazie della risposta!
Sì hai perfettamente ragione, non mi sono reso conto dell'errore pensando sempre $lim_n a_n/a_(n+1) = l < 1$ dunque converge, appena ho visto $1/2$ non ho riflettuto un secondo!
Ma a parte questo, il procedimento è corretto?

[ostrogoto]

Riassumendo: per il messaggio precedente la serie converge per $ |x|<1 $ [ho modificato il messaggio precedente probabilmente mentre gia' tu scrivevi la risposta...], diverge per $ x=+-1 $. [per $ x=-1 $ serie del tipo $ sum_(n=1)^(+oo)1/2*(-1)^n $ ed e' noto che la serie $ sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n $ diverge].

Per $ x>1 $ vale:

$ x^n/(1+x^(2n))<=x^n/x^(2n)=1/x^n $ serie geometrica convergente per x>1. Quindi la serie converge assolutamente per $ |x|>1 $.


Nel criterio del rapporto si calcola $ a_(n+1)/a_n $ non il contrario!

[Kevlar]

Sì, ho scritto per ben due volte quel rapporto alla rovescia pur applicandolo sempre nel modo corretto Scusami.
I miei errori nascevano da un cattivo della convergenza assoluta, pensavo implicasse anche la divergenza e non è così!
Comunque grazie per le risposte, mi hai chiarito non pochi dubbi!